Theorem dochdmj1 39404

Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochdmj1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochdmj1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmj1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochdmj1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochdmj1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem dochdmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 4120	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 4106	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌))
7		dochdmj1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochdmj1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochdmj1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochdmj1.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11	7, 8, 9, 10	dochss 39379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
12	1, 4, 6, 11	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
13		ssun2 4107	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌))
15	7, 8, 9, 10	dochss 39379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
16	1, 4, 14, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
17	12, 16	ssind 4166	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
18		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
19	7, 18, 8, 9, 10	dochcl 39367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
20	19	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
21	7, 18, 8, 9, 10	dochcl 39367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22	21	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
23	7, 18	dihmeetcl 39359	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24	1, 20, 22, 23	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
25	7, 18, 10	dochoc 39381	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
27	7, 8, 9, 10	dochssv 39369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
28	27	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
29		ssinss1 4171	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉)
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉)
31	7, 8, 9, 10	dochssv 39369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉)
32	1, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉)
33	7, 8, 9, 10	dochocss 39380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
34	33	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
35	7, 8, 9, 10	dochocss 39380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
36	35	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
37		unss12 4116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
38	34, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
39		inss1 4162	. . . . . . . 8 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
41	7, 8, 9, 10	dochss 39379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
42	1, 28, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
43	7, 8, 9, 10	dochssv 39369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
44	43	3adant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
45		inss2 4163	. . . . . . . 8 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
47	7, 8, 9, 10	dochss 39379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
48	1, 44, 46, 47	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
49	42, 48	unssd 4120	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
50	38, 49	sstrd 3931	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
51	7, 8, 9, 10	dochss 39379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
52	1, 32, 50, 51	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
53	26, 52	eqsstrrd 3960	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
54	17, 53	eqssd 3938	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ran crn 5590  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  DIsoHcdih 39242  ocHcoch 39361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362

This theorem is referenced by:  djhval2  39413  dochdmm1  39424  lclkrlem2c  39523  lclkrlem2v  39542  lcfrlem18  39574