Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochdmj1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dochdmj1 40250
Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmj1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochdmj1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochdmj1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochdmj1.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochdmj1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem dochdmj1
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2 1138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 simp3 1139 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑉)
42, 3unssd 4186 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝑉)
5 ssun1 4172 . . . . 5 𝑋 βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)
65a1i 11 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
7 dochdmj1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 dochdmj1.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dochdmj1.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 dochdmj1.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 10dochss 40225 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
121, 4, 6, 11syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
13 ssun2 4173 . . . . 5 π‘Œ βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)
1413a1i 11 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
157, 8, 9, 10dochss 40225 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
161, 4, 14, 15syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
1712, 16ssind 4232 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
18 eqid 2733 . . . . . . 7 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
197, 18, 8, 9, 10dochcl 40213 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
20193adant3 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
217, 18, 8, 9, 10dochcl 40213 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
22213adant2 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
237, 18dihmeetcl 40205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
241, 20, 22, 23syl12anc 836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
257, 18, 10dochoc 40227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
261, 24, 25syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
277, 8, 9, 10dochssv 40215 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
28273adant3 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
29 ssinss1 4237 . . . . . 6 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉 β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉)
317, 8, 9, 10dochssv 40215 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† 𝑉)
321, 30, 31syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† 𝑉)
337, 8, 9, 10dochocss 40226 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
34333adant3 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
357, 8, 9, 10dochocss 40226 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
36353adant2 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
37 unss12 4182 . . . . . 6 ((𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∧ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βˆͺ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
3834, 36, 37syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βˆͺ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
39 inss1 4228 . . . . . . . 8 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)
4039a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
417, 8, 9, 10dochss 40225 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
421, 28, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
437, 8, 9, 10dochssv 40215 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† 𝑉)
44433adant2 1132 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† 𝑉)
45 inss2 4229 . . . . . . . 8 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)
4645a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
477, 8, 9, 10dochss 40225 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† 𝑉 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
481, 44, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
4942, 48unssd 4186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βˆͺ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
5038, 49sstrd 3992 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
517, 8, 9, 10dochss 40225 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
521, 32, 50, 51syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
5326, 52eqsstrrd 4021 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
5417, 53eqssd 3999 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ran crn 5677  β€˜cfv 6541  Basecbs 17141  HLchlt 38209  LHypclh 38844  DVecHcdvh 39938  DIsoHcdih 40088  ocHcoch 40207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 37812
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-0g 17384  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lsatoms 37835  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tendo 39615  df-edring 39617  df-disoa 39889  df-dvech 39939  df-dib 39999  df-dic 40033  df-dih 40089  df-doch 40208
This theorem is referenced by:  djhval2  40259  dochdmm1  40270  lclkrlem2c  40369  lclkrlem2v  40388  lcfrlem18  40420
  Copyright terms: Public domain W3C validator