Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochdmj1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dochdmj1 40564
Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmj1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochdmj1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochdmj1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochdmj1.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochdmj1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem dochdmj1
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 simp3 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑉)
42, 3unssd 4185 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝑉)
5 ssun1 4171 . . . . 5 𝑋 βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)
65a1i 11 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
7 dochdmj1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 dochdmj1.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dochdmj1.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 dochdmj1.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 10dochss 40539 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
121, 4, 6, 11syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
13 ssun2 4172 . . . . 5 π‘Œ βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)
1413a1i 11 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
157, 8, 9, 10dochss 40539 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† (𝑋 βˆͺ π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
161, 4, 14, 15syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
1712, 16ssind 4231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
18 eqid 2730 . . . . . . 7 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
197, 18, 8, 9, 10dochcl 40527 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
20193adant3 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
217, 18, 8, 9, 10dochcl 40527 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
22213adant2 1129 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
237, 18dihmeetcl 40519 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
241, 20, 22, 23syl12anc 833 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
257, 18, 10dochoc 40541 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
261, 24, 25syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
277, 8, 9, 10dochssv 40529 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
28273adant3 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
29 ssinss1 4236 . . . . . 6 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉 β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉)
317, 8, 9, 10dochssv 40529 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† 𝑉)
321, 30, 31syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† 𝑉)
337, 8, 9, 10dochocss 40540 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
34333adant3 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
357, 8, 9, 10dochocss 40540 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
36353adant2 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
37 unss12 4181 . . . . . 6 ((𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∧ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βˆͺ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
3834, 36, 37syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βˆͺ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
39 inss1 4227 . . . . . . . 8 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)
4039a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
417, 8, 9, 10dochss 40539 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
421, 28, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
437, 8, 9, 10dochssv 40529 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† 𝑉)
44433adant2 1129 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† 𝑉)
45 inss2 4228 . . . . . . . 8 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)
4645a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
477, 8, 9, 10dochss 40539 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† 𝑉 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
481, 44, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
4942, 48unssd 4185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βˆͺ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
5038, 49sstrd 3991 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))
517, 8, 9, 10dochss 40539 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
521, 32, 50, 51syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
5326, 52eqsstrrd 4020 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
5417, 53eqssd 3998 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  DIsoHcdih 40402  ocHcoch 40521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522
This theorem is referenced by:  djhval2  40573  dochdmm1  40584  lclkrlem2c  40683  lclkrlem2v  40702  lcfrlem18  40734
  Copyright terms: Public domain W3C validator