Theorem dochdmj1 42053

Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochdmj1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochdmj1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmj1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochdmj1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochdmj1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem dochdmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 4153	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 4139	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌))
7		dochdmj1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochdmj1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochdmj1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochdmj1.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11	7, 8, 9, 10	dochss 42028	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
12	1, 4, 6, 11	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
13		ssun2 4140	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌))
15	7, 8, 9, 10	dochss 42028	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
16	1, 4, 14, 15	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
17	12, 16	ssind 4201	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
18		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
19	7, 18, 8, 9, 10	dochcl 42016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
20	19	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
21	7, 18, 8, 9, 10	dochcl 42016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22	21	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
23	7, 18	dihmeetcl 42008	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24	1, 20, 22, 23	syl12anc 849	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
25	7, 18, 10	dochoc 42030	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 24, 25	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
27	7, 8, 9, 10	dochssv 42018	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
28	27	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
29		ssinss1 4206	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉)
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉)
31	7, 8, 9, 10	dochssv 42018	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉)
32	1, 30, 31	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉)
33	7, 8, 9, 10	dochocss 42029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
34	33	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
35	7, 8, 9, 10	dochocss 42029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
36	35	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
37		unss12 4149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
38	34, 36, 37	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
39		inss1 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
41	7, 8, 9, 10	dochss 42028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
42	1, 28, 40, 41	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
43	7, 8, 9, 10	dochssv 42018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
44	43	3adant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
45		inss2 4198	. . . . . . . 8 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
47	7, 8, 9, 10	dochss 42028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
48	1, 44, 46, 47	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
49	42, 48	unssd 4153	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
50	38, 49	sstrd 3955	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
51	7, 8, 9, 10	dochss 42028	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
52	1, 32, 50, 51	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
53	26, 52	eqsstrrd 3980	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
54	17, 53	eqssd 3962	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ran crn 5663  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  HLchlt 40013  LHypclh 40647  DVecHcdvh 41741  DIsoHcdih 41891  ocHcoch 42010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-riotaBAD 39616

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-drng 20814  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-lvec 21201  df-lsatoms 39639  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-llines 40161  df-lplanes 40162  df-lvols 40163  df-lines 40164  df-psubsp 40166  df-pmap 40167  df-padd 40459  df-lhyp 40651  df-laut 40652  df-ldil 40767  df-ltrn 40768  df-trl 40822  df-tendo 41418  df-edring 41420  df-disoa 41692  df-dvech 41742  df-dib 41802  df-dic 41836  df-dih 41892  df-doch 42011

This theorem is referenced by:  djhval2  42062  dochdmm1  42073  lclkrlem2c  42172  lclkrlem2v  42191  lcfrlem18  42223