Theorem dochdmj1 42584

Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochdmj1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochdmj1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmj1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochdmj1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochdmj1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem dochdmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 4189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 4175	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌))
7		dochdmj1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochdmj1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochdmj1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochdmj1.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11	7, 8, 9, 10	dochss 42559	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
12	1, 4, 6, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
13		ssun2 4176	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌))
15	7, 8, 9, 10	dochss 42559	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
16	1, 4, 14, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
17	12, 16	ssind 4136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
19	7, 18, 8, 9, 10	dochcl 42547	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
20	19	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
21	7, 18, 8, 9, 10	dochcl 42547	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22	21	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
23	7, 18	dihmeetcl 42539	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24	1, 20, 22, 23	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
25	7, 18, 10	dochoc 42561	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
26	1, 24, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
27	7, 8, 9, 10	dochssv 42549	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
28	27	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
29		ssinss1 4141	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉)
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉)
31	7, 8, 9, 10	dochssv 42549	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉)
32	1, 30, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉)
33	7, 8, 9, 10	dochocss 42560	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
34	33	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
35	7, 8, 9, 10	dochocss 42560	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
36	35	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
37		unss12 4185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
38	34, 36, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
39		inss1 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
41	7, 8, 9, 10	dochss 42559	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
42	1, 28, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
43	7, 8, 9, 10	dochssv 42549	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
44	43	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
45		inss2 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
47	7, 8, 9, 10	dochss 42559	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
48	1, 44, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
49	42, 48	unssd 4189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∪ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
50	38, 49	sstrd 3919	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))))
51	7, 8, 9, 10	dochss 42559	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
52	1, 32, 50, 51	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
53	26, 52	eqsstrrd 3944	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
54	17, 53	eqssd 3926	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∪ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ran crn 5652  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  HLchlt 40544  LHypclh 41178  DVecHcdvh 42272  DIsoHcdih 42422  ocHcoch 42541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-riotaBAD 40147

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-0g 17621  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-drng 20991  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lvec 21387  df-lsatoms 40170  df-oposet 40370  df-ol 40372  df-oml 40373  df-covers 40460  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545  df-llines 40692  df-lplanes 40693  df-lvols 40694  df-lines 40695  df-psubsp 40697  df-pmap 40698  df-padd 40990  df-lhyp 41182  df-laut 41183  df-ldil 41298  df-ltrn 41299  df-trl 41353  df-tendo 41949  df-edring 41951  df-disoa 42223  df-dvech 42273  df-dib 42333  df-dic 42367  df-dih 42423  df-doch 42542

This theorem is used by:  djhval2  42593  dochdmm1  42604  lclkrlem2c  42703  lclkrlem2v  42722  lcfrlem18  42754