Theorem corclrcl 40845

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	⊢ (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 40814	. 2 ⊢ r* = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎↑𝑟𝑖))
2		dfrcl4 40814	. 2 ⊢ r* = (𝑏 ∈ V ↦ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏↑𝑟𝑗))
3		dfrcl4 40814	. 2 ⊢ r* = (𝑐 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐↑𝑟𝑘))
4		prex 5296	. 2 ⊢ {0, 1} ∈ V
5		unidm 4040	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
6	5	eqcomi 2747	. 2 ⊢ {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7		oveq2 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟𝑗))
8	7	cbviunv 4923	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
9		1ex 10708	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 4973	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12		ovex 7197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
13	4, 12	iunex 7687	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
14		relexp1g 14468	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
16	11, 15	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
17	16	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
18	8, 17	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19		snsspr2 4700	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
20		iunss1 4892	. . . 4 ⊢ ({1} ⊆ {0, 1} → ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
22	18, 21	eqsstri 3909	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23		c0ex 10706	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
24	23	prid1 4650	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
25		oveq2 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟0))
26	25	ssiun2s 4931	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1} → (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
28		oveq2 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑑↑𝑟𝑗) = (𝑑↑𝑟𝑘))
29	28	cbviunv 4923	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
30	29	eqimssi 3933	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
31		unss12 4070	. . . 4 ⊢ (((𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∧ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)) → ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)))
32	27, 30, 31	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
33		df-pr 4516	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34		iuneq1 4894	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36		iunxun 4976	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37		oveq2 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0))
38	23, 37	iunxsn 4973	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39		vex 3401	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑑 ∈ V
40		0nn0 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41		1nn0 11985	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42		prssi 4706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
43	40, 41, 42	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
44	24, 24	elini 4081	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
45	44	ne0ii 4224	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
46		iunrelexp0 40840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0))
47	39, 43, 45, 46	mp3an 1462	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0)
48	38, 47	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑↑𝑟0)
49	48, 16	uneq12i 4049	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
50	36, 49	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
51	35, 50	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
52		iunxun 4976	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
53	32, 51, 52	3sstr4i 3918	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘)
54	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 53	comptiunov2i 40844	1 ⊢ (r* ∘ r*) = r*

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  Vcvv 3397   ∪ cun 3839   ∩ cin 3840   ⊆ wss 3841  ∅c0 4209  {csn 4513  {cpr 4515  ∪ ciun 4878   ∘ ccom 5523  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609  ℕ₀cn0 11969  ↑_𝑟crelexp 14461  r*crcl 40810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-seq 13454  df-relexp 14462  df-rcl 40811

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  40879  cortrclrcl  40881