Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corclrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem corclrcl 43168
Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corclrcl (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 43137 . 2 r* = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎𝑟𝑖))
2 dfrcl4 43137 . 2 r* = (𝑏 ∈ V ↦ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏𝑟𝑗))
3 dfrcl4 43137 . 2 r* = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐𝑟𝑘))
4 prex 5438 . 2 {0, 1} ∈ V
5 unidm 4153 . . 3 ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
65eqcomi 2737 . 2 {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟𝑗))
87cbviunv 5047 . . . 4 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
9 1ex 11248 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1))
119, 10iunxsn 5098 . . . . . 6 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12 ovex 7459 . . . . . . . 8 (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
134, 12iunex 7978 . . . . . . 7 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
14 relexp1g 15013 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1611, 15eqtri 2756 . . . . 5 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1716eqcomi 2737 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
188, 17eqtri 2756 . . 3 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19 snsspr2 4823 . . . 4 {1} ⊆ {0, 1}
20 iunss1 5014 . . . 4 ({1} ⊆ {0, 1} → 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
2218, 21eqsstri 4016 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23 c0ex 11246 . . . . . 6 0 ∈ V
2423prid1 4771 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
25 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟0))
2625ssiun2s 5055 . . . . 5 (0 ∈ {0, 1} → (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
2724, 26ax-mp 5 . . . 4 (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
28 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑑𝑟𝑗) = (𝑑𝑟𝑘))
2928cbviunv 5047 . . . . 5 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
3029eqimssi 4042 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
31 unss12 4184 . . . 4 (((𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∧ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)) → ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)))
3227, 30, 31mp2an 690 . . 3 ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
33 df-pr 4635 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34 iuneq1 5016 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36 iunxun 5101 . . . . 5 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0))
3823, 37iunxsn 5098 . . . . . . 7 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ V
40 0nn0 12525 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
41 1nn0 12526 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
42 prssi 4829 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
4340, 41, 42mp2an 690 . . . . . . . 8 {0, 1} ⊆ ℕ0
4424, 24elini 4195 . . . . . . . . 9 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
4544ne0ii 4341 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
46 iunrelexp0 43163 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0))
4739, 43, 45, 46mp3an 1457 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0)
4838, 47eqtri 2756 . . . . . 6 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑𝑟0)
4948, 16uneq12i 4162 . . . . 5 ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5036, 49eqtri 2756 . . . 4 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5135, 50eqtri 2756 . . 3 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
52 iunxun 5101 . . 3 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘) = ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
5332, 51, 523sstr4i 4025 . 2 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘)
541, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 53comptiunov2i 43167 1 (r* ∘ r*) = r*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  Vcvv 3473  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4326  {csn 4632  {cpr 4634   ciun 5000  ccom 5686  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147  0cn0 12510  𝑟crelexp 15006  r*crcl 43133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-relexp 15007  df-rcl 43134
This theorem is referenced by:  corclrtrcl  43202  cortrclrcl  43204
  Copyright terms: Public domain W3C validator