Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corclrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem corclrcl 40045
Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corclrcl (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 40014 . 2 r* = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎𝑟𝑖))
2 dfrcl4 40014 . 2 r* = (𝑏 ∈ V ↦ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏𝑟𝑗))
3 dfrcl4 40014 . 2 r* = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐𝑟𝑘))
4 prex 5325 . 2 {0, 1} ∈ V
5 unidm 4128 . . 3 ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
65eqcomi 2830 . 2 {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7 oveq2 7158 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟𝑗))
87cbviunv 4958 . . . 4 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
9 1ex 10631 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1))
119, 10iunxsn 5006 . . . . . 6 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12 ovex 7183 . . . . . . . 8 (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
134, 12iunex 7663 . . . . . . 7 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
14 relexp1g 14379 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1611, 15eqtri 2844 . . . . 5 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1716eqcomi 2830 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
188, 17eqtri 2844 . . 3 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19 snsspr2 4742 . . . 4 {1} ⊆ {0, 1}
20 iunss1 4926 . . . 4 ({1} ⊆ {0, 1} → 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
2218, 21eqsstri 4001 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23 c0ex 10629 . . . . . 6 0 ∈ V
2423prid1 4692 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
25 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟0))
2625ssiun2s 4965 . . . . 5 (0 ∈ {0, 1} → (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
2724, 26ax-mp 5 . . . 4 (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
28 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑑𝑟𝑗) = (𝑑𝑟𝑘))
2928cbviunv 4958 . . . . 5 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
3029eqimssi 4025 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
31 unss12 4158 . . . 4 (((𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∧ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)) → ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)))
3227, 30, 31mp2an 690 . . 3 ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
33 df-pr 4564 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34 iuneq1 4928 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36 iunxun 5009 . . . . 5 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0))
3823, 37iunxsn 5006 . . . . . . 7 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39 vex 3498 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ V
40 0nn0 11906 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
41 1nn0 11907 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
42 prssi 4748 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
4340, 41, 42mp2an 690 . . . . . . . 8 {0, 1} ⊆ ℕ0
4424, 24elini 4170 . . . . . . . . 9 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
4544ne0ii 4303 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
46 iunrelexp0 40040 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0))
4739, 43, 45, 46mp3an 1457 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0)
4838, 47eqtri 2844 . . . . . 6 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑𝑟0)
4948, 16uneq12i 4137 . . . . 5 ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5036, 49eqtri 2844 . . . 4 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5135, 50eqtri 2844 . . 3 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
52 iunxun 5009 . . 3 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘) = ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
5332, 51, 523sstr4i 4010 . 2 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘)
541, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 53comptiunov2i 40044 1 (r* ∘ r*) = r*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  Vcvv 3495  cun 3934  cin 3935  wss 3936  c0 4291  {csn 4561  {cpr 4563   ciun 4912  ccom 5554  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532  0cn0 11891  𝑟crelexp 14373  r*crcl 40010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-relexp 14374  df-rcl 40011
This theorem is referenced by:  corclrtrcl  40079  cortrclrcl  40081
  Copyright terms: Public domain W3C validator