Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corclrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem corclrcl 43720
Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corclrcl (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 43689 . 2 r* = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎𝑟𝑖))
2 dfrcl4 43689 . 2 r* = (𝑏 ∈ V ↦ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏𝑟𝑗))
3 dfrcl4 43689 . 2 r* = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐𝑟𝑘))
4 prex 5437 . 2 {0, 1} ∈ V
5 unidm 4157 . . 3 ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
65eqcomi 2746 . 2 {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟𝑗))
87cbviunv 5040 . . . 4 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
9 1ex 11257 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1))
119, 10iunxsn 5091 . . . . . 6 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
134, 12iunex 7993 . . . . . . 7 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
14 relexp1g 15065 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1611, 15eqtri 2765 . . . . 5 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1716eqcomi 2746 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
188, 17eqtri 2765 . . 3 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19 snsspr2 4815 . . . 4 {1} ⊆ {0, 1}
20 iunss1 5006 . . . 4 ({1} ⊆ {0, 1} → 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
2218, 21eqsstri 4030 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23 c0ex 11255 . . . . . 6 0 ∈ V
2423prid1 4762 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
25 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟0))
2625ssiun2s 5048 . . . . 5 (0 ∈ {0, 1} → (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
2724, 26ax-mp 5 . . . 4 (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
28 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑑𝑟𝑗) = (𝑑𝑟𝑘))
2928cbviunv 5040 . . . . 5 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
3029eqimssi 4044 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
31 unss12 4188 . . . 4 (((𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∧ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)) → ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)))
3227, 30, 31mp2an 692 . . 3 ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
33 df-pr 4629 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34 iuneq1 5008 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36 iunxun 5094 . . . . 5 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0))
3823, 37iunxsn 5091 . . . . . . 7 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39 vex 3484 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ V
40 0nn0 12541 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
41 1nn0 12542 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
42 prssi 4821 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
4340, 41, 42mp2an 692 . . . . . . . 8 {0, 1} ⊆ ℕ0
4424, 24elini 4199 . . . . . . . . 9 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
4544ne0ii 4344 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
46 iunrelexp0 43715 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0))
4739, 43, 45, 46mp3an 1463 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0)
4838, 47eqtri 2765 . . . . . 6 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑𝑟0)
4948, 16uneq12i 4166 . . . . 5 ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5036, 49eqtri 2765 . . . 4 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5135, 50eqtri 2765 . . 3 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
52 iunxun 5094 . . 3 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘) = ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
5332, 51, 523sstr4i 4035 . 2 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘)
541, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 53comptiunov2i 43719 1 (r* ∘ r*) = r*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   ciun 4991  ccom 5689  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  0cn0 12526  𝑟crelexp 15058  r*crcl 43685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-relexp 15059  df-rcl 43686
This theorem is referenced by:  corclrtrcl  43754  cortrclrcl  43756
  Copyright terms: Public domain W3C validator