Theorem corclrcl 44152

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	⊢ (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 44121	. 2 ⊢ r* = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎↑𝑟𝑖))
2		dfrcl4 44121	. 2 ⊢ r* = (𝑏 ∈ V ↦ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏↑𝑟𝑗))
3		dfrcl4 44121	. 2 ⊢ r* = (𝑐 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐↑𝑟𝑘))
4		prex 5375	. 2 ⊢ {0, 1} ∈ V
5		unidm 4098	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
6	5	eqcomi 2746	. 2 ⊢ {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟𝑗))
8	7	cbviunv 4982	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
9		1ex 11131	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 5034	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
13	4, 12	iunex 7914	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
14		relexp1g 14979	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
16	11, 15	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
17	16	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
18	8, 17	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19		snsspr2 4759	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
20		iunss1 4949	. . . 4 ⊢ ({1} ⊆ {0, 1} → ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
22	18, 21	eqsstri 3969	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23		c0ex 11129	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
24	23	prid1 4707	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
25		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟0))
26	25	ssiun2s 4992	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1} → (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
28		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑑↑𝑟𝑗) = (𝑑↑𝑟𝑘))
29	28	cbviunv 4982	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
30	29	eqimssi 3983	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
31		unss12 4129	. . . 4 ⊢ (((𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∧ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)) → ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)))
32	27, 30, 31	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
33		df-pr 4571	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34		iuneq1 4951	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36		iunxun 5037	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0))
38	23, 37	iunxsn 5034	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑑 ∈ V
40		0nn0 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41		1nn0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42		prssi 4765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
43	40, 41, 42	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
44	24, 24	elini 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
45	44	ne0ii 4285	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
46		iunrelexp0 44147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0))
47	39, 43, 45, 46	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0)
48	38, 47	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑↑𝑟0)
49	48, 16	uneq12i 4107	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
50	36, 49	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
51	35, 50	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
52		iunxun 5037	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
53	32, 51, 52	3sstr4i 3974	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘)
54	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 53	comptiunov2i 44151	1 ⊢ (r* ∘ r*) = r*

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ∪ ciun 4934   ∘ ccom 5628  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030  ℕ₀cn0 12428  ↑_𝑟crelexp 14972  r*crcl 44117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-relexp 14973  df-rcl 44118

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  44186  cortrclrcl  44188