Theorem corclrcl 43720

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	⊢ (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 43689	. 2 ⊢ r* = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎↑𝑟𝑖))
2		dfrcl4 43689	. 2 ⊢ r* = (𝑏 ∈ V ↦ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏↑𝑟𝑗))
3		dfrcl4 43689	. 2 ⊢ r* = (𝑐 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐↑𝑟𝑘))
4		prex 5437	. 2 ⊢ {0, 1} ∈ V
5		unidm 4157	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
6	5	eqcomi 2746	. 2 ⊢ {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟𝑗))
8	7	cbviunv 5040	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
9		1ex 11257	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 5091	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
13	4, 12	iunex 7993	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
14		relexp1g 15065	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
16	11, 15	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
17	16	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
18	8, 17	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19		snsspr2 4815	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
20		iunss1 5006	. . . 4 ⊢ ({1} ⊆ {0, 1} → ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
22	18, 21	eqsstri 4030	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23		c0ex 11255	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
24	23	prid1 4762	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
25		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟0))
26	25	ssiun2s 5048	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1} → (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
28		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑑↑𝑟𝑗) = (𝑑↑𝑟𝑘))
29	28	cbviunv 5040	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
30	29	eqimssi 4044	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
31		unss12 4188	. . . 4 ⊢ (((𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∧ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)) → ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)))
32	27, 30, 31	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
33		df-pr 4629	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34		iuneq1 5008	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36		iunxun 5094	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0))
38	23, 37	iunxsn 5091	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39		vex 3484	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑑 ∈ V
40		0nn0 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41		1nn0 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42		prssi 4821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
43	40, 41, 42	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
44	24, 24	elini 4199	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
45	44	ne0ii 4344	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
46		iunrelexp0 43715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0))
47	39, 43, 45, 46	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0)
48	38, 47	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑↑𝑟0)
49	48, 16	uneq12i 4166	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
50	36, 49	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
51	35, 50	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
52		iunxun 5094	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
53	32, 51, 52	3sstr4i 4035	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘)
54	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 53	comptiunov2i 43719	1 ⊢ (r* ∘ r*) = r*

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628  ∪ ciun 4991   ∘ ccom 5689  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ℕ₀cn0 12526  ↑_𝑟crelexp 15058  r*crcl 43685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-relexp 15059  df-rcl 43686

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  43754  cortrclrcl  43756