Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corclrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem corclrcl 38496
Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corclrcl (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 38465 . 2 r* = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎𝑟𝑖))
2 dfrcl4 38465 . 2 r* = (𝑏 ∈ V ↦ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏𝑟𝑗))
3 dfrcl4 38465 . 2 r* = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐𝑟𝑘))
4 prex 5099 . 2 {0, 1} ∈ V
5 unidm 3955 . . 3 ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
65eqcomi 2815 . 2 {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7 oveq2 6878 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟𝑗))
87cbviunv 4751 . . . 4 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
9 1ex 10317 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 oveq2 6878 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1))
119, 10iunxsn 4795 . . . . . 6 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12 ovex 6902 . . . . . . . 8 (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
134, 12iunex 7373 . . . . . . 7 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
14 relexp1g 13985 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ∈ V → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1611, 15eqtri 2828 . . . . 5 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)
1716eqcomi 2815 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
188, 17eqtri 2828 . . 3 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19 snsspr2 4536 . . . 4 {1} ⊆ {0, 1}
20 iunss1 4724 . . . 4 ({1} ⊆ {0, 1} → 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
2218, 21eqsstri 3832 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23 c0ex 10315 . . . . . 6 0 ∈ V
2423prid1 4488 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
25 oveq2 6878 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟0))
2625ssiun2s 4756 . . . . 5 (0 ∈ {0, 1} → (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
2724, 26ax-mp 5 . . . 4 (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
28 oveq2 6878 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑑𝑟𝑗) = (𝑑𝑟𝑘))
2928cbviunv 4751 . . . . 5 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) = 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
3029eqimssi 3856 . . . 4 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
31 unss12 3984 . . . 4 (((𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∧ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)) → ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)))
3227, 30, 31mp2an 675 . . 3 ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
33 df-pr 4373 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34 iuneq1 4726 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36 iunxun 4797 . . . . 5 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37 oveq2 6878 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0))
3823, 37iunxsn 4795 . . . . . . 7 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39 vex 3394 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ V
40 0nn0 11570 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
41 1nn0 11571 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
42 prssi 4542 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
4340, 41, 42mp2an 675 . . . . . . . 8 {0, 1} ⊆ ℕ0
44 inidm 4019 . . . . . . . . . 10 ({0, 1} ∩ {0, 1}) = {0, 1}
4524, 44eleqtrri 2884 . . . . . . . . 9 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
4645ne0ii 4125 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
47 iunrelexp0 38491 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0))
4839, 43, 46, 47mp3an 1578 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0)
4938, 48eqtri 2828 . . . . . 6 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑𝑟0)
5049, 16uneq12i 3964 . . . . 5 ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5136, 50eqtri 2828 . . . 4 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
5235, 51eqtri 2828 . . 3 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗))
53 iunxun 4797 . . 3 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘) = ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
5432, 52, 533sstr4i 3841 . 2 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑𝑟𝑘)
551, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54comptiunov2i 38495 1 (r* ∘ r*) = r*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  Vcvv 3391  cun 3767  cin 3768  wss 3769  c0 4116  {csn 4370  {cpr 4372   ciun 4712  ccom 5315  (class class class)co 6870  0cc0 10217  1c1 10218  0cn0 11555  𝑟crelexp 13979  r*crcl 38461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-seq 13021  df-relexp 13980  df-rcl 38462
This theorem is referenced by:  corclrtrcl  38530  cortrclrcl  38532
  Copyright terms: Public domain W3C validator