Theorem corclrcl 38496

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	⊢ (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 38465	. 2 ⊢ r* = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎↑𝑟𝑖))
2		dfrcl4 38465	. 2 ⊢ r* = (𝑏 ∈ V ↦ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏↑𝑟𝑗))
3		dfrcl4 38465	. 2 ⊢ r* = (𝑐 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐↑𝑟𝑘))
4		prex 5099	. 2 ⊢ {0, 1} ∈ V
5		unidm 3955	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
6	5	eqcomi 2815	. 2 ⊢ {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7		oveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟𝑗))
8	7	cbviunv 4751	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
9		1ex 10317	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 4795	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12		ovex 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
13	4, 12	iunex 7373	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
14		relexp1g 13985	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
16	11, 15	eqtri 2828	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
17	16	eqcomi 2815	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
18	8, 17	eqtri 2828	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19		snsspr2 4536	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
20		iunss1 4724	. . . 4 ⊢ ({1} ⊆ {0, 1} → ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
22	18, 21	eqsstri 3832	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23		c0ex 10315	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
24	23	prid1 4488	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
25		oveq2 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟0))
26	25	ssiun2s 4756	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1} → (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
28		oveq2 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑑↑𝑟𝑗) = (𝑑↑𝑟𝑘))
29	28	cbviunv 4751	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
30	29	eqimssi 3856	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
31		unss12 3984	. . . 4 ⊢ (((𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∧ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)) → ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)))
32	27, 30, 31	mp2an 675	. . 3 ⊢ ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
33		df-pr 4373	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34		iuneq1 4726	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36		iunxun 4797	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37		oveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0))
38	23, 37	iunxsn 4795	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39		vex 3394	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑑 ∈ V
40		0nn0 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41		1nn0 11571	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42		prssi 4542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
43	40, 41, 42	mp2an 675	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
44		inidm 4019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, 1} ∩ {0, 1}) = {0, 1}
45	24, 44	eleqtrri 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
46	45	ne0ii 4125	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
47		iunrelexp0 38491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0))
48	39, 43, 46, 47	mp3an 1578	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0)
49	38, 48	eqtri 2828	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑↑𝑟0)
50	49, 16	uneq12i 3964	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
51	36, 50	eqtri 2828	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
52	35, 51	eqtri 2828	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
53		iunxun 4797	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
54	32, 52, 53	3sstr4i 3841	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘)
55	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54	comptiunov2i 38495	1 ⊢ (r* ∘ r*) = r*

Syntax hints:   = wceq 1637   ∈ wcel 2156   ≠ wne 2978  Vcvv 3391   ∪ cun 3767   ∩ cin 3768   ⊆ wss 3769  ∅c0 4116  {csn 4370  {cpr 4372  ∪ ciun 4712   ∘ ccom 5315  (class class class)co 6870  0cc0 10217  1c1 10218  ℕ₀cn0 11555  ↑_𝑟crelexp 13979  r*crcl 38461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-seq 13021  df-relexp 13980  df-rcl 38462

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  38530  cortrclrcl  38532