Theorem corcltrcl 44724

Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corcltrcl	⊢ (r* ∘ t+) = t*

Proof of Theorem corcltrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 44661	. 2 ⊢ r* = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎↑𝑟𝑖))
2		dftrcl3 44705	. 2 ⊢ t+ = (𝑏 ∈ V ↦ ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑏↑𝑟𝑗))
3		dfrtrcl3 44718	. 2 ⊢ t* = (𝑐 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ ℕ0 (𝑐↑𝑟𝑘))
4		prex 5396	. 2 ⊢ {0, 1} ∈ V
5		nnex 12334	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
6		df-n0 12600	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
7		uncom 4105	. . 3 ⊢ (ℕ ∪ {0}) = ({0} ∪ ℕ)
8		df-pr 4587	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
9	8	uneq1i 4111	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∪ ℕ) = (({0} ∪ {1}) ∪ ℕ)
10		unass 4118	. . . 4 ⊢ (({0} ∪ {1}) ∪ ℕ) = ({0} ∪ ({1} ∪ ℕ))
11		1nn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
12		snssi 4746	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ ℕ
14		ssequn1 4132	. . . . . 6 ⊢ ({1} ⊆ ℕ ↔ ({1} ∪ ℕ) = ℕ)
15	13, 14	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ({1} ∪ ℕ) = ℕ
16	15	uneq2i 4112	. . . 4 ⊢ ({0} ∪ ({1} ∪ ℕ)) = ({0} ∪ ℕ)
17	9, 10, 16	3eqtrri 2789	. . 3 ⊢ ({0} ∪ ℕ) = ({0, 1} ∪ ℕ)
18	6, 7, 17	3eqtri 2788	. 2 ⊢ ℕ0 = ({0, 1} ∪ ℕ)
19		oveq2 7426	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟𝑖))
20	19	cbviunv 4997	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑖)
21		ss2iun 4970	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑖) ⊆ (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) → ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
22		relexp1g 15172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ V → (𝑑↑𝑟1) = 𝑑)
23	22	elv 3456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑↑𝑟1) = 𝑑
24		oveq2 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑑↑𝑟𝑗) = (𝑑↑𝑟1))
25	24	ssiun2s 5007	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑑↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗))
26	11, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)
27	23, 26	eqsstrri 3978	. . . . . 6 ⊢ 𝑑 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} → 𝑑 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗))
29		ovex 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
30	5, 29	iunex 7978	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} → ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V)
32		0nn0 12614	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		1nn0 12615	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34		prssi 4782	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
36	35	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} → 𝑖 ∈ ℕ0)
37	28, 31, 36	relexpss1d 44690	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} → (𝑑↑𝑟𝑖) ⊆ (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
38	21, 37	mprg 3083	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
39	20, 38	eqsstri 3977	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
40		oveq2 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟𝑗))
41	40	cbviunv 4997	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)
42		relexp1g 15172	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V → (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗))
43	30, 42	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)
44	41, 43	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘) = (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1)
45		1elpr01 11297	. . . 4 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
46		oveq2 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1))
47	46	ssiun2s 5007	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1} → (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
48	45, 47	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
49	44, 48	eqsstri 3977	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
50		c0ex 11293	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
51	50	prid1 4723	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
52		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟0))
53	52	ssiun2s 5007	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1} → (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
54	51, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
55		ssid 3953	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘)
56		unss12 4134	. . . 4 ⊢ (((𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∧ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘)) → ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘)))
57	54, 55, 56	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘))
58		iuneq1 4968	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
59	8, 58	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
60		iunxun 5054	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
61		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0))
62	50, 61	iunxsn 5051	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0)
63		vex 3455	. . . . . . 7 ⊢ 𝑑 ∈ V
64		nnssnn0 12602	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
65		inelcm 4418	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ ℕ) → ({0, 1} ∩ ℕ) ≠ ∅)
66	45, 11, 65	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1} ∩ ℕ) ≠ ∅
67		iunrelexp0 44687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ V ∧ ℕ ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ ℕ) ≠ ∅) → (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0))
68	63, 64, 66, 67	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0)
69	62, 68	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑↑𝑟0)
70		1ex 11296	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
71	70, 46	iunxsn 5051	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1)
72	43, 41	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘)
73	71, 72	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘)
74	69, 73	uneq12i 4113	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘))
75	59, 60, 74	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘))
76		iunxun 5054	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ ℕ)(𝑑↑𝑟𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑘))
77	57, 75, 76	3sstr4i 3982	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ ℕ)(𝑑↑𝑟𝑘)
78	1, 2, 3, 4, 5, 18, 39, 49, 77	comptiunov2i 44691	1 ⊢ (r* ∘ t+) = t*

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  ∪ ciun 4951   ∘ ccom 5655  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  t+ctcl 15131  t*crtcl 15132  ↑_𝑟crelexp 15165  r*crcl 44657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-trcl 15133  df-rtrcl 15134  df-relexp 15166  df-rcl 44658

This theorem is used by:  cortrcltrcl  44725  corclrtrcl  44726