Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corcltrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem corcltrcl 39453
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corcltrcl (r* ∘ t+) = t*

Proof of Theorem corcltrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 39390 . 2 r* = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎𝑟𝑖))
2 dftrcl3 39434 . 2 t+ = (𝑏 ∈ V ↦ 𝑗 ∈ ℕ (𝑏𝑟𝑗))
3 dfrtrcl3 39447 . 2 t* = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ ℕ0 (𝑐𝑟𝑘))
4 prex 5189 . 2 {0, 1} ∈ V
5 nnex 11446 . 2 ℕ ∈ V
6 df-n0 11708 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
7 uncom 4018 . . 3 (ℕ ∪ {0}) = ({0} ∪ ℕ)
8 df-pr 4444 . . . . 5 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
98uneq1i 4024 . . . 4 ({0, 1} ∪ ℕ) = (({0} ∪ {1}) ∪ ℕ)
10 unass 4031 . . . 4 (({0} ∪ {1}) ∪ ℕ) = ({0} ∪ ({1} ∪ ℕ))
11 1nn 11452 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
12 snssi 4615 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 {1} ⊆ ℕ
14 ssequn1 4044 . . . . . 6 ({1} ⊆ ℕ ↔ ({1} ∪ ℕ) = ℕ)
1513, 14mpbi 222 . . . . 5 ({1} ∪ ℕ) = ℕ
1615uneq2i 4025 . . . 4 ({0} ∪ ({1} ∪ ℕ)) = ({0} ∪ ℕ)
179, 10, 163eqtrri 2807 . . 3 ({0} ∪ ℕ) = ({0, 1} ∪ ℕ)
186, 7, 173eqtri 2806 . 2 0 = ({0, 1} ∪ ℕ)
19 oveq2 6984 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟𝑖))
2019cbviunv 4833 . . 3 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) = 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑖)
21 ss2iun 4809 . . . 4 (∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑖) ⊆ ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) → 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
22 vex 3418 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ V
23 relexp1g 14246 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ V → (𝑑𝑟1) = 𝑑)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑑𝑟1) = 𝑑
25 oveq2 6984 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝑑𝑟𝑗) = (𝑑𝑟1))
2625ssiun2s 4838 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → (𝑑𝑟1) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗))
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑑𝑟1) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)
2824, 27eqsstr3i 3892 . . . . . 6 𝑑 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)
2928a1i 11 . . . . 5 (𝑖 ∈ {0, 1} → 𝑑 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗))
30 ovex 7008 . . . . . . 7 (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
315, 30iunex 7481 . . . . . 6 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗) ∈ V
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑖 ∈ {0, 1} → 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗) ∈ V)
33 0nn0 11724 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
34 1nn0 11725 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
35 prssi 4628 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
3633, 34, 35mp2an 679 . . . . . 6 {0, 1} ⊆ ℕ0
3736sseli 3854 . . . . 5 (𝑖 ∈ {0, 1} → 𝑖 ∈ ℕ0)
3829, 32, 37relexpss1d 39419 . . . 4 (𝑖 ∈ {0, 1} → (𝑑𝑟𝑖) ⊆ ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
3921, 38mprg 3102 . . 3 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
4020, 39eqsstri 3891 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
41 oveq2 6984 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟𝑗))
4241cbviunv 4833 . . . 4 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘) = 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)
43 relexp1g 14246 . . . . 5 ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗) ∈ V → ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗))
4431, 43ax-mp 5 . . . 4 ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)
4542, 44eqtr4i 2805 . . 3 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘) = ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1)
46 1ex 10435 . . . . 5 1 ∈ V
4746prid2 4573 . . . 4 1 ∈ {0, 1}
48 oveq2 6984 . . . . 5 (𝑖 = 1 → ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1))
4948ssiun2s 4838 . . . 4 (1 ∈ {0, 1} → ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
5047, 49ax-mp 5 . . 3 ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
5145, 50eqsstri 3891 . 2 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
52 c0ex 10433 . . . . . 6 0 ∈ V
5352prid1 4572 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
54 oveq2 6984 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑑𝑟𝑘) = (𝑑𝑟0))
5554ssiun2s 4838 . . . . 5 (0 ∈ {0, 1} → (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘))
5653, 55ax-mp 5 . . . 4 (𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘)
57 ssid 3879 . . . 4 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘)
58 unss12 4046 . . . 4 (((𝑑𝑟0) ⊆ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∧ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘)) → ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘)))
5956, 57, 58mp2an 679 . . 3 ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘)) ⊆ ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘))
60 iuneq1 4807 . . . . 5 ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
618, 60ax-mp 5 . . . 4 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
62 iunxun 4882 . . . 4 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
63 oveq2 6984 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0))
6452, 63iunxsn 4879 . . . . . 6 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0)
65 nnssnn0 11710 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℕ0
66 inelcm 4297 . . . . . . . 8 ((1 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ ℕ) → ({0, 1} ∩ ℕ) ≠ ∅)
6747, 11, 66mp2an 679 . . . . . . 7 ({0, 1} ∩ ℕ) ≠ ∅
68 iunrelexp0 39416 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ V ∧ ℕ ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ ℕ) ≠ ∅) → ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0))
6922, 65, 67, 68mp3an 1440 . . . . . 6 ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑𝑟0)
7064, 69eqtri 2802 . . . . 5 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑𝑟0)
7146, 48iunxsn 4879 . . . . . 6 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1)
7244, 42eqtr4i 2805 . . . . . 6 ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟1) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘)
7371, 72eqtri 2802 . . . . 5 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘)
7470, 73uneq12i 4026 . . . 4 ( 𝑖 ∈ {0} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ 𝑖 ∈ {1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘))
7561, 62, 743eqtri 2806 . . 3 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑𝑟0) ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘))
76 iunxun 4882 . . 3 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ ℕ)(𝑑𝑟𝑘) = ( 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑𝑟𝑘) ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑘))
7759, 75, 763sstr4i 3900 . 2 𝑖 ∈ {0, 1} ( 𝑗 ∈ ℕ (𝑑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ ℕ)(𝑑𝑟𝑘)
781, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77comptiunov2i 39420 1 (r* ∘ t+) = t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  Vcvv 3415  cun 3827  cin 3828  wss 3829  c0 4178  {csn 4441  {cpr 4443   ciun 4792  ccom 5411  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336  cn 11439  0cn0 11707  t+ctcl 14206  t*crtcl 14207  𝑟crelexp 14240  r*crcl 39386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-seq 13185  df-trcl 14208  df-rtrcl 14209  df-relexp 14241  df-rcl 39387
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  39454  corclrtrcl  39455
  Copyright terms: Public domain W3C validator