Theorem lspun 21267

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspun	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 4190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 4176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
7		lspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspss.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspss 21264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11		ssun2 4177	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
13	7, 8	lspss 21264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
15	10, 14	unssd 4190	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
16	7, 8	lspssv 21263	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	1, 4, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
18	15, 17	sstrd 3918	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
19	7, 8	lspssid 21265	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
20	1, 2, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
21	7, 8	lspssid 21265	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
22		unss12 4186	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1364	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
24	7, 8	lspss 21264	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
26	7, 8	lspss 21264	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
28	7, 8	lspidm 21266	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
29	1, 4, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
30	27, 29	sseqtrd 3944	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
31	25, 30	eqssd 3925	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  ‘cfv 6538  Basecbs 17392  LModclmod 21140  LSpanclspn 21251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mgp 20366  df-ur 20413  df-ring 20466  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252

This theorem is used by:  lspun0  21291  lsmsp2  21367  lsmpr  21369  lsppr  21373  islshpsm  40130  lshpnel2N  40135  lkrlsp3  40254  dochsatshp  42601