Theorem lspun 20950

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspun	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 4146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 4132	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
7		lspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspss.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspss 20947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11		ssun2 4133	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
13	7, 8	lspss 20947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
15	10, 14	unssd 4146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
16	7, 8	lspssv 20946	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	1, 4, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
18	15, 17	sstrd 3946	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
19	7, 8	lspssid 20948	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
20	1, 2, 19	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
21	7, 8	lspssid 20948	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
22		unss12 4142	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1347	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
24	7, 8	lspss 20947	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
26	7, 8	lspss 20947	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
28	7, 8	lspidm 20949	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
29	1, 4, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
30	27, 29	sseqtrd 3972	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
31	25, 30	eqssd 3953	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935

This theorem is referenced by:  lspun0  20974  lsmsp2  21051  lsmpr  21053  lsppr  21057  islshpsm  39350  lshpnel2N  39355  lkrlsp3  39474  dochsatshp  41821