Theorem lspun 21008

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspun	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 4215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 4201	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
7		lspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspss.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspss 21005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11		ssun2 4202	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
13	7, 8	lspss 21005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
15	10, 14	unssd 4215	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
16	7, 8	lspssv 21004	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	1, 4, 16	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
18	15, 17	sstrd 4019	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
19	7, 8	lspssid 21006	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
20	1, 2, 19	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
21	7, 8	lspssid 21006	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
22		unss12 4211	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1345	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
24	7, 8	lspss 21005	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
26	7, 8	lspss 21005	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
28	7, 8	lspidm 21007	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
29	1, 4, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
30	27, 29	sseqtrd 4049	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
31	25, 30	eqssd 4026	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  LModclmod 20880  LSpanclspn 20992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993

This theorem is referenced by:  lspun0  21032  lsmsp2  21109  lsmpr  21111  lsppr  21115  islshpsm  38936  lshpnel2N  38941  lkrlsp3  39060  dochsatshp  41408