MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspun 20830
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspss.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspun ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp2 1136 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
3 simp3 1137 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
42, 3unssd 4186 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
5 ssun1 4172 . . . . . . 7 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)
65a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ))
7 lspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lspss.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
97, 8lspss 20827 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
101, 4, 6, 9syl3anc 1370 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
11 ssun2 4173 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ))
137, 8lspss 20827 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
141, 4, 12, 13syl3anc 1370 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
1510, 14unssd 4186 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
167, 8lspssv 20826 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
171, 4, 16syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
1815, 17sstrd 3992 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
197, 8lspssid 20828 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
201, 2, 19syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
217, 8lspssid 20828 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
22 unss12 4182 . . . 4 ((𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)))
2320, 21, 223imp3i2an 1344 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)))
247, 8lspss 20827 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
251, 18, 23, 24syl3anc 1370 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
267, 8lspss 20827 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉 ∧ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
271, 17, 15, 26syl3anc 1370 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
287, 8lspidm 20829 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
291, 4, 28syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
3027, 29sseqtrd 4022 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
3125, 30eqssd 3999 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  Basecbs 17151  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815
This theorem is referenced by:  lspun0  20854  lsmsp2  20931  lsmpr  20933  lsppr  20937  islshpsm  38314  lshpnel2N  38319  lkrlsp3  38438  dochsatshp  40786
  Copyright terms: Public domain W3C validator