MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspun 20591
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspss.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspun ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp2 1138 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
3 simp3 1139 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
42, 3unssd 4186 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
5 ssun1 4172 . . . . . . 7 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)
65a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ))
7 lspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lspss.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
97, 8lspss 20588 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
101, 4, 6, 9syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
11 ssun2 4173 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ))
137, 8lspss 20588 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
141, 4, 12, 13syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
1510, 14unssd 4186 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
167, 8lspssv 20587 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
171, 4, 16syl2anc 585 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
1815, 17sstrd 3992 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
197, 8lspssid 20589 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
201, 2, 19syl2anc 585 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
217, 8lspssid 20589 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
22 unss12 4182 . . . 4 ((𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)))
2320, 21, 223imp3i2an 1346 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)))
247, 8lspss 20588 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
251, 18, 23, 24syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
267, 8lspss 20588 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉 ∧ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
271, 17, 15, 26syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
287, 8lspidm 20590 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
291, 4, 28syl2anc 585 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
3027, 29sseqtrd 4022 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
3125, 30eqssd 3999 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6541  Basecbs 17141  LModclmod 20464  LSpanclspn 20575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576
This theorem is referenced by:  lspun0  20615  lsmsp2  20691  lsmpr  20693  lsppr  20697  islshpsm  37839  lshpnel2N  37844  lkrlsp3  37963  dochsatshp  40311
  Copyright terms: Public domain W3C validator