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Theorem dmdprdsplit2lem 19910
Description: Lemma for dmdprdsplit 19912. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
dprdsplit.i (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
dprdsplit.u (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
dmdprdsplit.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
dmdprdsplit2.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
dmdprdsplit2.2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))
dmdprdsplit2.3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
dmdprdsplit2lem.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))) ∧ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† { 0 }))
Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐼 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
32eleq2d 2820 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 ↔ π‘Œ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷)))
4 elun 4148 . . . 4 (π‘Œ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∨ π‘Œ ∈ 𝐷))
53, 4bitrdi 287 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∨ π‘Œ ∈ 𝐷)))
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
76ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
9 ssun1 4172 . . . . . . . . . . 11 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
109, 1sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐼)
118, 10fssresd 6756 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύ 𝐢):𝐢⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
1211fdmd 6726 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
1312ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
14 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
15 simprl 770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
16 simprr 772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
17 dmdprdsplit.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
187, 13, 14, 15, 16, 17dprdcntz 19873 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ)))
19 fvres 6908 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
2019ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
21 fvres 6908 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
2221ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
2322fveq2d 6893 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ)) = (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
2418, 20, 233sstr3d 4028 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
2524exp32 422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
2619ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
276ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
2812ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
29 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
3027, 28, 29dprdub 19890 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
3126, 30eqsstrrd 4021 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
32 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3534dprdssv 19881 . . . . . . . 8 (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)
36 fvres 6908 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
3736ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
38 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))
40 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
4140, 1sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝐼)
428, 41fssresd 6756 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
4342fdmd 6726 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐷) = 𝐷)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐷) = 𝐷)
45 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
4639, 44, 45dprdub 19890 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘Œ) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
4737, 46eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
4834, 17cntz2ss 19194 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘†β€˜π‘Œ) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) β†’ (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
4935, 47, 48sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
5033, 49sstrd 3992 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
5131, 50sstrd 3992 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
5251exp32 422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
5325, 52jaod 858 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐢 ∨ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
545, 53sylbid 239 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
55 dprdgrp 19870 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
566, 55syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5756adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5834subgacs 19036 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
59 acsmre 17593 . . . . . 6 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
61 difundir 4280 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βˆͺ 𝐷) βˆ– {𝑋}) = ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ (𝐷 βˆ– {𝑋}))
622difeq1d 4121 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐼 βˆ– {𝑋}) = ((𝐢 βˆͺ 𝐷) βˆ– {𝑋}))
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
6463snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ {𝑋} βŠ† 𝐢)
65 sslin 4234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑋} βŠ† 𝐢 β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐢))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐢))
67 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐢 ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ 𝐢)
68 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
7067, 69eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐷 ∩ 𝐢) = βˆ…)
71 sseq0 4399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∩ {𝑋}) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐢) ∧ (𝐷 ∩ 𝐢) = βˆ…) β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) = βˆ…)
7266, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) = βˆ…)
73 disj3 4453 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ 𝐷 = (𝐷 βˆ– {𝑋}))
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐷 = (𝐷 βˆ– {𝑋}))
7574uneq2d 4163 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷) = ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ (𝐷 βˆ– {𝑋})))
7661, 62, 753eqtr4a 2799 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐼 βˆ– {𝑋}) = ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷))
7776imaeq2d 6058 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 β€œ ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷)))
78 imaundi 6147 . . . . . . . . 9 (𝑆 β€œ ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷)) = ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷))
7977, 78eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
8079unieqd 4922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = βˆͺ ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
81 uniun 4934 . . . . . . 7 βˆͺ ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) = (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷))
8280, 81eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
83 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
84 difss 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐢
85 imass2 6099 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐢 β†’ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (𝑆 β€œ 𝐢))
86 uniss 4916 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (𝑆 β€œ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢))
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)
88 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† ran 𝑆
898frnd 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
9089adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
91 mresspw 17533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
9260, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
9390, 92sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
9488, 93sstrid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
95 sspwuni 5103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9787, 96sstrid 3993 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9860, 83, 97mrcssidd 17566 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))))
99 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† ran 𝑆
10099, 93sstrid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
101 sspwuni 5103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
102100, 101sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
10360, 83, 102mrcssidd 17566 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
10483dprdspan 19892 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
10538, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
106 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 β€œ 𝐷) = ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)
107106unieqi 4921 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) = βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)
108107fveq2i 6892 . . . . . . . . . . 11 (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷))
109105, 108eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
110109adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
111103, 110sseqtrrd 4023 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
112 unss12 4182 . . . . . . . 8 ((βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) β†’ (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
11398, 111, 112syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
11483mrccl 17552 . . . . . . . . 9 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11560, 97, 114syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
116 dprdsubg 19889 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11738, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
118117adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
119 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
120119lsmunss 19522 . . . . . . . 8 (((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
121115, 118, 120syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
122113, 121sstrd 3992 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
12382, 122eqsstrd 4020 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
12487a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢))
12560, 83, 124, 96mrcssd 17565 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)))
12683dprdspan 19892 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
1276, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
128 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ 𝐢) = ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)
129128unieqi 4921 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢) = βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)
130129fveq2i 6892 . . . . . . . . . 10 (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢))
131127, 130eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)))
132131adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)))
133125, 132sseqtrrd 4023 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
13432adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
135133, 134sstrd 3992 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
136119, 17lsmsubg 19517 . . . . . 6 (((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
137115, 118, 135, 136syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
13883mrcsscl 17561 . . . . 5 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∧ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋}))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
13960, 123, 137, 138syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋}))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
140 sslin 4234 . . . 4 ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋}))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))))
141139, 140syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))))
14210sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
1438ffvelcdmda 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
144142, 143syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
145 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
14619adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
1476adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
14812adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
149147, 148, 63dprdub 19890 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
150146, 149eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
151 dprdsubg 19889 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1526, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
153152adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
154119lsmlub 19527 . . . . . . . . 9 (((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))) ↔ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))))
155144, 115, 153, 154syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))) ↔ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))))
156150, 133, 155mpbi2and 711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
157156ssrind 4235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
158 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
159158adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
160157, 159sseqtrd 4022 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† { 0 })
161119lsmub1 19520 . . . . . . . . 9 (((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
162144, 115, 161syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
163145subg0cl 19009 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (π‘†β€˜π‘‹))
164144, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ (π‘†β€˜π‘‹))
165162, 164sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
166145subg0cl 19009 . . . . . . . 8 ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
167118, 166syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
168165, 167elind 4194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
169168snssd 4812 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ { 0 } βŠ† (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
170160, 169eqssd 3999 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
171 resima2 6015 . . . . . . . . 9 ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐢 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
17284, 171mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
173172unieqd 4922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
174173fveq2d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))))
175146, 174ineq12d 4213 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) = ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
176147, 148, 63, 145, 83dprddisj 19874 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) = { 0 })
177175, 176eqtr3d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) = { 0 })
1788adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
179 ffun 6718 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ Fun 𝑆)
180 funiunfv 7244 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
181178, 179, 1803syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
1826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
18312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
184 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
185184adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
186 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
187 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
188187adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
189182, 183, 185, 186, 188, 17dprdcntz 19873 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹)))
190185fvresd 6909 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘¦) = (π‘†β€˜π‘¦))
19119ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
192191fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
193189, 190, 1923sstr3d 4028 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
194193ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
195 iunss 5048 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
196194, 195sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
197181, 196eqsstrrd 4021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
19834subgss 19002 . . . . . . . 8 ((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
199144, 198syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
20034, 17cntzsubg 19198 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
20157, 199, 200syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
20283mrcsscl 17561 . . . . . 6 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∧ (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
20360, 197, 201, 202syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
20417, 115, 144, 203cntzrecd 19541 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
205119, 144, 115, 118, 145, 170, 177, 17, 204lsmdisj3 19546 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))) = { 0 })
206141, 205sseqtrd 4022 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† { 0 })
20754, 206jca 513 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))) ∧ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  0gc0g 17382  Moorecmre 17523  mrClscmrc 17524  ACScacs 17526  Grpcgrp 18816  SubGrpcsubg 18995  Cntzccntz 19174  LSSumclsm 19497   DProd cdprd 19858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-gim 19128  df-cntz 19176  df-oppg 19205  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-dprd 19860
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  19911
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