MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2lem 19096
Description: Lemma for dmdprdsplit 19098. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplit2.1 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
dmdprdsplit2.2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
dmdprdsplit2.3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
dmdprdsplit2lem.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
32eleq2d 2895 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼𝑌 ∈ (𝐶𝐷)))
4 elun 4122 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷))
53, 4syl6bb 288 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷)))
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
76ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ssun1 4145 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
109, 1sseqtrrid 4017 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐼)
118, 10fssresd 6538 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
1211fdmd 6516 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1312ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
14 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
15 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑌𝐶)
16 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
17 dmdprdsplit.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
187, 13, 14, 15, 16, 17dprdcntz 19059 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)))
19 fvres 6682 . . . . . . 7 (𝑋𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
2019ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
21 fvres 6682 . . . . . . . 8 (𝑌𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2221ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2322fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2418, 20, 233sstr3d 4010 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2524exp32 421 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐶 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
2619ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
276ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
2812ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
29 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
3027, 28, 29dprdub 19076 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3126, 30eqsstrrd 4003 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
32 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
3332ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
34 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3534dprdssv 19067 . . . . . . . 8 (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
36 fvres 6682 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
3736ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
38 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
3938ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
40 ssun2 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4140, 1sseqtrrid 4017 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝐼)
428, 41fssresd 6538 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
4342fdmd 6516 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4443ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
45 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
4639, 44, 45dprdub 19076 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
4737, 46eqsstrrd 4003 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
4834, 17cntz2ss 18401 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
4935, 47, 48sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5033, 49sstrd 3974 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5131, 50sstrd 3974 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5251exp32 421 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐷 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
5325, 52jaod 853 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐶𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
545, 53sylbid 241 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
55 dprdgrp 19056 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
566, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5756adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
5834subgacs 18251 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
59 acsmre 16911 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
61 difundir 4254 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋}))
622difeq1d 4095 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
6463snssd 4734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → {𝑋} ⊆ 𝐶)
65 sslin 4208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑋} ⊆ 𝐶 → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
67 incom 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
68 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐶𝐷) = ∅)
7067, 69syl5eqr 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷𝐶) = ∅)
71 sseq0 4350 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶) ∧ (𝐷𝐶) = ∅) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
7266, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
73 disj3 4399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7472, 73sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7574uneq2d 4136 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋})))
7661, 62, 753eqtr4a 2879 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷))
7776imaeq2d 5922 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)))
78 imaundi 6001 . . . . . . . . 9 (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
7977, 78syl6eq 2869 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
8079unieqd 4840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
81 uniun 4849 . . . . . . 7 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
8280, 81syl6eq 2869 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
83 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
84 difss 4105 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶
85 imass2 5958 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
86 uniss 4851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶)
88 imassrn 5933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) ⊆ ran 𝑆
898frnd 6514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
91 mresspw 16851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9260, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9390, 92sstrd 3974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9488, 93sstrid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
95 sspwuni 5013 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
9694, 95sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
9787, 96sstrid 3975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺))
9860, 83, 97mrcssidd 16884 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
99 imassrn 5933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) ⊆ ran 𝑆
10099, 93sstrid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
101 sspwuni 5013 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
102100, 101sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
10360, 83, 102mrcssidd 16884 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐷)))
10483dprdspan 19078 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
10538, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
106 df-ima 5561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
107106unieqi 4839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
108107fveq2i 6666 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷))
109105, 108syl6eqr 2871 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
110109adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
111103, 110sseqtrrd 4005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
112 unss12 4155 . . . . . . . 8 (( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
11398, 111, 112syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
11483mrccl 16870 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11560, 97, 114syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
116 dprdsubg 19075 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11738, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
118117adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
119 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
120119lsmunss 18713 . . . . . . . 8 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
121115, 118, 120syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
122113, 121sstrd 3974 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12382, 122eqsstrd 4002 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12487a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
12560, 83, 124, 96mrcssd 16883 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐶)))
12683dprdspan 19078 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
1276, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
128 df-ima 5561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
129128unieqi 4839 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
130129fveq2i 6666 . . . . . . . . . 10 (𝐾 (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶))
131127, 130syl6eqr 2871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
132131adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
133125, 132sseqtrrd 4005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
13432adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
135133, 134sstrd 3974 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
136119, 17lsmsubg 18708 . . . . . 6 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137115, 118, 135, 136syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
13883mrcsscl 16879 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
13960, 123, 137, 138syl3anc 1363 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
140 sslin 4208 . . . 4 ((𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
141139, 140syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
14210sselda 3964 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐼)
1438ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐼) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
144142, 143syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
145 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
14619adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
1476adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
14812adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
149147, 148, 63dprdub 19076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
150146, 149eqsstrrd 4003 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
151 dprdsubg 19075 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1526, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
153152adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
154119lsmlub 18719 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
155144, 115, 153, 154syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
156150, 133, 155mpbi2and 708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
157156ssrind 4209 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
158 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
159158adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
160157, 159sseqtrd 4004 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ { 0 })
161119lsmub1 18711 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
162144, 115, 161syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
163145subg0cl 18225 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
164144, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
165162, 164sseldd 3965 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
166145subg0cl 18225 . . . . . . . 8 ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
167118, 166syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
168165, 167elind 4168 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
169168snssd 4734 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → { 0 } ⊆ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
170160, 169eqssd 3981 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
171 resima2 5881 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
17284, 171mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
173172unieqd 4840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
174173fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) = (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
175146, 174ineq12d 4187 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
176147, 148, 63, 145, 83dprddisj 19060 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
177175, 176eqtr3d 2855 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
1788adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
179 ffun 6510 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
180 funiunfv 6998 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
181178, 179, 1803syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
1826ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
18312ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
184 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝐶)
185184adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝐶)
186 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑋𝐶)
187 eldifsni 4714 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝑋)
188187adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝑋)
189182, 183, 185, 186, 188, 17dprdcntz 19059 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)))
190185fvresd 6683 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
19119ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
192191fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)) = (𝑍‘(𝑆𝑋)))
193189, 190, 1923sstr3d 4010 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
194193ralrimiva 3179 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
195 iunss 4960 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
196194, 195sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
197181, 196eqsstrrd 4003 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
19834subgss 18218 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
199144, 198syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
20034, 17cntzsubg 18405 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20157, 199, 200syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20283mrcsscl 16879 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∧ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20360, 197, 201, 202syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20417, 115, 144, 203cntzrecd 18733 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
205119, 144, 115, 118, 145, 170, 177, 17, 204lsmdisj3 18738 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) = { 0 })
206141, 205sseqtrd 4004 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 })
20754, 206jca 512 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830   ciun 4910   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  0gc0g 16701  Moorecmre 16841  mrClscmrc 16842  ACScacs 16844  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  Cntzccntz 18383  LSSumclsm 18688   DProd cdprd 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-dprd 19046
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  19097
  Copyright terms: Public domain W3C validator