Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2lem 19170
 Description: Lemma for dmdprdsplit 19172. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplit2.1 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
dmdprdsplit2.2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
dmdprdsplit2.3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
dmdprdsplit2lem.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
21adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
32eleq2d 2901 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼𝑌 ∈ (𝐶𝐷)))
4 elun 4112 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷))
53, 4syl6bb 290 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 ↔ (𝑌𝐶𝑌𝐷)))
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
76ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ssun1 4135 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
109, 1sseqtrrid 4007 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐼)
118, 10fssresd 6536 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
1211fdmd 6514 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
1312ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
14 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
15 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑌𝐶)
16 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
17 dmdprdsplit.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
187, 13, 14, 15, 16, 17dprdcntz 19133 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)))
19 fvres 6681 . . . . . . 7 (𝑋𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
2019ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
21 fvres 6681 . . . . . . . 8 (𝑌𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2221ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
2322fveq2d 6666 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑌)) = (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2418, 20, 233sstr3d 4000 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐶𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
2524exp32 424 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐶 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
2619ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
276ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
2812ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
29 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐶)
3027, 28, 29dprdub 19150 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3126, 30eqsstrrd 3993 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
32 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
34 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3534dprdssv 19141 . . . . . . . 8 (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
36 fvres 6681 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
3736ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) = (𝑆𝑌))
38 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
40 ssun2 4136 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4140, 1sseqtrrid 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝐼)
428, 41fssresd 6536 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
4342fdmd 6514 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
45 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
4639, 44, 45dprdub 19150 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑆𝐷)‘𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
4737, 46eqsstrrd 3993 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
4834, 17cntz2ss 18466 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑌) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
4935, 47, 48sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5033, 49sstrd 3964 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5131, 50sstrd 3964 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ (𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))
5251exp32 424 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐷 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
5325, 52jaod 856 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐶𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
545, 53sylbid 243 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))))
55 dprdgrp 19130 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
566, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5756adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
5834subgacs 18316 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
59 acsmre 16926 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
61 difundir 4243 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋}))
622difeq1d 4085 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶𝐷) ∖ {𝑋}))
63 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
6463snssd 4727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → {𝑋} ⊆ 𝐶)
65 sslin 4197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑋} ⊆ 𝐶 → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶))
67 incom 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
68 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
6968adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐶𝐷) = ∅)
7067, 69syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷𝐶) = ∅)
71 sseq0 4337 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∩ {𝑋}) ⊆ (𝐷𝐶) ∧ (𝐷𝐶) = ∅) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
7266, 70, 71syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅)
73 disj3 4387 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7472, 73sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐷 = (𝐷 ∖ {𝑋}))
7574uneq2d 4126 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑋})))
7661, 62, 753eqtr4a 2885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐼 ∖ {𝑋}) = ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷))
7776imaeq2d 5917 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)))
78 imaundi 5996 . . . . . . . . 9 (𝑆 “ ((𝐶 ∖ {𝑋}) ∪ 𝐷)) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
7977, 78syl6eq 2875 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
8079unieqd 4839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
81 uniun 4848 . . . . . . 7 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷))
8280, 81syl6eq 2875 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)))
83 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
84 difss 4095 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶
85 imass2 5953 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
86 uniss 4833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶)
88 imassrn 5928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) ⊆ ran 𝑆
898frnd 6511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
9089adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
91 mresspw 16866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9260, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9390, 92sstrd 3964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → ran 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
9488, 93sstrid 3965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
95 sspwuni 5009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐶) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
9694, 95sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐶) ⊆ (Base‘𝐺))
9787, 96sstrid 3965 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺))
9860, 83, 97mrcssidd 16899 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
99 imassrn 5928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) ⊆ ran 𝑆
10099, 93sstrid 3965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
101 sspwuni 5009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
102100, 101sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (Base‘𝐺))
10360, 83, 102mrcssidd 16899 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐷)))
10483dprdspan 19152 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
10538, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷)))
106 df-ima 5556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
107106unieqi 4838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐷) = ran (𝑆𝐷)
108107fveq2i 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 (𝑆𝐷)) = (𝐾 ran (𝑆𝐷))
109105, 108syl6eqr 2877 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
110109adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) = (𝐾 (𝑆𝐷)))
111103, 110sseqtrrd 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
112 unss12 4145 . . . . . . . 8 (( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝑆𝐷) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
11398, 111, 112syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
11483mrccl 16885 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11560, 97, 114syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
116 dprdsubg 19149 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11738, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
118117adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
119 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
120119lsmunss 18787 . . . . . . . 8 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
121115, 118, 120syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∪ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
122113, 121sstrd 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ( (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ∪ (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12382, 122eqsstrd 3992 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
12487a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑆𝐶))
12560, 83, 124, 96mrcssd 16898 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐾 (𝑆𝐶)))
12683dprdspan 19152 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
1276, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶)))
128 df-ima 5556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
129128unieqi 4838 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐶) = ran (𝑆𝐶)
130129fveq2i 6665 . . . . . . . . . 10 (𝐾 (𝑆𝐶)) = (𝐾 ran (𝑆𝐶))
131127, 130syl6eqr 2877 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
132131adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) = (𝐾 (𝑆𝐶)))
133125, 132sseqtrrd 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
13432adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
135133, 134sstrd 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
136119, 17lsmsubg 18782 . . . . . 6 (((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137115, 118, 135, 136syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
13883mrcsscl 16894 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
13960, 123, 137, 138syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
140 sslin 4197 . . . 4 ((𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
141139, 140syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
14210sselda 3954 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐼)
1438ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐼) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
144142, 143syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
145 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
14619adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
1476adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
14812adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
149147, 148, 63dprdub 19150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
150146, 149eqsstrrd 3993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
151 dprdsubg 19149 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1526, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
153152adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
154119lsmlub 18793 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
155144, 115, 153, 154syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) ↔ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
156150, 133, 155mpbi2and 711 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
157156ssrind 4198 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
158 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
159158adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
160157, 159sseqtrd 3994 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ { 0 })
161119lsmub1 18785 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
162144, 115, 161syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
163145subg0cl 18290 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
164144, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝑆𝑋))
165162, 164sseldd 3955 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
166145subg0cl 18290 . . . . . . . 8 ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
167118, 166syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
168165, 167elind 4157 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 0 ∈ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
169168snssd 4727 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → { 0 } ⊆ (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
170160, 169eqssd 3971 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
171 resima2 5876 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐶 → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
17284, 171mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
173172unieqd 4839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
174173fveq2d 6666 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) = (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))))
175146, 174ineq12d 4176 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
176147, 148, 63, 145, 83dprddisj 19134 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝑋) ∩ (𝐾 ((𝑆𝐶) “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
177175, 176eqtr3d 2861 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
1788adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
179 ffun 6507 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
180 funiunfv 7000 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
181178, 179, 1803syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) = (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))
1826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
18312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
184 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝐶)
185184adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝐶)
186 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑋𝐶)
187 eldifsni 4708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝑋)
188187adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝑋)
189182, 183, 185, 186, 188, 17dprdcntz 19133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)))
190185fvresd 6682 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
19119ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → ((𝑆𝐶)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
192191fveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑍‘((𝑆𝐶)‘𝑋)) = (𝑍‘(𝑆𝑋)))
193189, 190, 1923sstr3d 4000 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
194193ralrimiva 3177 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐶) → ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
195 iunss 4956 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
196194, 195sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐶 ∖ {𝑋})(𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
197181, 196eqsstrrd 3993 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
19834subgss 18283 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
199144, 198syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺))
20034, 17cntzsubg 18470 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝑋) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20157, 199, 200syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20283mrcsscl 16894 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∧ (𝑍‘(𝑆𝑋)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20360, 197, 201, 202syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑋)))
20417, 115, 144, 203cntzrecd 18807 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))))
205119, 144, 115, 118, 145, 170, 177, 17, 204lsmdisj3 18812 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ ((𝐾 (𝑆 “ (𝐶 ∖ {𝑋})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) = { 0 })
206141, 205sseqtrd 3994 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 })
20754, 206jca 515 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑌𝐼 → (𝑋𝑌 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑌)))) ∧ ((𝑆𝑋) ∩ (𝐾 (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ⊆ { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133   ∖ cdif 3917   ∪ cun 3918   ∩ cin 3919   ⊆ wss 3920  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4523  {csn 4551  ∪ cuni 4825  ∪ ciun 4906   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  ran crn 5544   ↾ cres 5545   “ cima 5546  Fun wfun 6338  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  0gc0g 16716  Moorecmre 16856  mrClscmrc 16857  ACScacs 16859  Grpcgrp 18106  SubGrpcsubg 18276  Cntzccntz 18448  LSSumclsm 18762   DProd cdprd 19118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-hash 13699  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-gim 18402  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-dprd 19120 This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  19171
 Copyright terms: Public domain W3C validator