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Theorem dmdprdsplit2lem 19957
Description: Lemma for dmdprdsplit 19959. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
dprdsplit.i (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
dprdsplit.u (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
dmdprdsplit.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
dmdprdsplit2.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
dmdprdsplit2.2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))
dmdprdsplit2.3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
dmdprdsplit2lem.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))) ∧ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† { 0 }))
Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
21adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐼 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
32eleq2d 2811 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 ↔ π‘Œ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷)))
4 elun 4140 . . . 4 (π‘Œ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∨ π‘Œ ∈ 𝐷))
53, 4bitrdi 287 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∨ π‘Œ ∈ 𝐷)))
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
76ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
9 ssun1 4164 . . . . . . . . . . 11 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
109, 1sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐼)
118, 10fssresd 6748 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύ 𝐢):𝐢⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
1211fdmd 6718 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
1312ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
14 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
15 simprl 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
16 simprr 770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
17 dmdprdsplit.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
187, 13, 14, 15, 16, 17dprdcntz 19920 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ)))
19 fvres 6900 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
2019ad2antlr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
21 fvres 6900 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
2221ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
2322fveq2d 6885 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘Œ)) = (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
2418, 20, 233sstr3d 4020 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
2524exp32 420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
2619ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
276ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
2812ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
29 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
3027, 28, 29dprdub 19937 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
3126, 30eqsstrrd 4013 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
32 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
3332ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
34 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3534dprdssv 19928 . . . . . . . 8 (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)
36 fvres 6900 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
3736ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘Œ) = (π‘†β€˜π‘Œ))
38 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))
40 ssun2 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
4140, 1sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝐼)
428, 41fssresd 6748 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
4342fdmd 6718 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐷) = 𝐷)
4443ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐷) = 𝐷)
45 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
4639, 44, 45dprdub 19937 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘Œ) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
4737, 46eqsstrrd 4013 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
4834, 17cntz2ss 19241 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘†β€˜π‘Œ) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) β†’ (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
4935, 47, 48sylancr 586 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
5033, 49sstrd 3984 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
5131, 50sstrd 3984 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))
5251exp32 420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
5325, 52jaod 856 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐢 ∨ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
545, 53sylbid 239 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))))
55 dprdgrp 19917 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
566, 55syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5756adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5834subgacs 19078 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
59 acsmre 17595 . . . . . 6 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
61 difundir 4272 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βˆͺ 𝐷) βˆ– {𝑋}) = ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ (𝐷 βˆ– {𝑋}))
622difeq1d 4113 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐼 βˆ– {𝑋}) = ((𝐢 βˆͺ 𝐷) βˆ– {𝑋}))
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
6463snssd 4804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ {𝑋} βŠ† 𝐢)
65 sslin 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑋} βŠ† 𝐢 β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐢))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐢))
67 incom 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐢 ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ 𝐢)
68 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
7067, 69eqtr3id 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐷 ∩ 𝐢) = βˆ…)
71 sseq0 4391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∩ {𝑋}) βŠ† (𝐷 ∩ 𝐢) ∧ (𝐷 ∩ 𝐢) = βˆ…) β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) = βˆ…)
7266, 70, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐷 ∩ {𝑋}) = βˆ…)
73 disj3 4445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ 𝐷 = (𝐷 βˆ– {𝑋}))
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐷 = (𝐷 βˆ– {𝑋}))
7574uneq2d 4155 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷) = ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ (𝐷 βˆ– {𝑋})))
7661, 62, 753eqtr4a 2790 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐼 βˆ– {𝑋}) = ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷))
7776imaeq2d 6049 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 β€œ ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷)))
78 imaundi 6139 . . . . . . . . 9 (𝑆 β€œ ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βˆͺ 𝐷)) = ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷))
7977, 78eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
8079unieqd 4912 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = βˆͺ ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
81 uniun 4924 . . . . . . 7 βˆͺ ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) = (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷))
8280, 81eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) = (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
83 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
84 difss 4123 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐢
85 imass2 6091 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐢 β†’ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (𝑆 β€œ 𝐢))
86 uniss 4907 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (𝑆 β€œ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢))
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)
88 imassrn 6060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† ran 𝑆
898frnd 6715 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
91 mresspw 17535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
9260, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
9390, 92sstrd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
9488, 93sstrid 3985 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
95 sspwuni 5093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9787, 96sstrid 3985 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9860, 83, 97mrcssidd 17568 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))))
99 imassrn 6060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† ran 𝑆
10099, 93sstrid 3985 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
101 sspwuni 5093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
102100, 101sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
10360, 83, 102mrcssidd 17568 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
10483dprdspan 19939 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
10538, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
106 df-ima 5679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 β€œ 𝐷) = ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)
107106unieqi 4911 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) = βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷)
108107fveq2i 6884 . . . . . . . . . . 11 (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐷))
109105, 108eqtr4di 2782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
110109adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)))
111103, 110sseqtrrd 4015 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
112 unss12 4174 . . . . . . . 8 ((βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) β†’ (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
11398, 111, 112syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
11483mrccl 17554 . . . . . . . . 9 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11560, 97, 114syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
116 dprdsubg 19936 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11738, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
118117adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
119 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
120119lsmunss 19569 . . . . . . . 8 (((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
121115, 118, 120syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βˆͺ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
122113, 121sstrd 3984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βˆͺ βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐷)) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
12382, 122eqsstrd 4012 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
12487a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢))
12560, 83, 124, 96mrcssd 17567 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)))
12683dprdspan 19939 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
1276, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
128 df-ima 5679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ 𝐢) = ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)
129128unieqi 4911 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢) = βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢)
130129fveq2i 6884 . . . . . . . . . 10 (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐢))
131127, 130eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)))
132131adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ 𝐢)))
133125, 132sseqtrrd 4015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
13432adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
135133, 134sstrd 3984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
136119, 17lsmsubg 19564 . . . . . 6 (((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
137115, 118, 135, 136syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
13883mrcsscl 17563 . . . . 5 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∧ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋}))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
13960, 123, 137, 138syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋}))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
140 sslin 4226 . . . 4 ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋}))) βŠ† ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))))
141139, 140syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))))
14210sselda 3974 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
1438ffvelcdmda 7076 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
144142, 143syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
145 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
14619adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
1476adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
14812adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
149147, 148, 63dprdub 19937 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
150146, 149eqsstrrd 4013 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
151 dprdsubg 19936 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1526, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
153152adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
154119lsmlub 19574 . . . . . . . . 9 (((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))) ↔ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))))
155144, 115, 153, 154syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))) ↔ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))))
156150, 133, 155mpbi2and 709 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) βŠ† (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)))
157156ssrind 4227 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
158 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
159158adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
160157, 159sseqtrd 4014 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) βŠ† { 0 })
161119lsmub1 19567 . . . . . . . . 9 (((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
162144, 115, 161syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
163145subg0cl 19051 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (π‘†β€˜π‘‹))
164144, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ (π‘†β€˜π‘‹))
165162, 164sseldd 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ ((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
166145subg0cl 19051 . . . . . . . 8 ((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
167118, 166syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))
168165, 167elind 4186 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 0 ∈ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
169168snssd 4804 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ { 0 } βŠ† (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))))
170160, 169eqssd 3991 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷))) = { 0 })
171 resima2 6006 . . . . . . . . 9 ((𝐢 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐢 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
17284, 171mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
173172unieqd 4912 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
174173fveq2d 6885 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) = (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))))
175146, 174ineq12d 4205 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) = ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
176147, 148, 63, 145, 83dprddisj 19921 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) = { 0 })
177175, 176eqtr3d 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))) = { 0 })
1788adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
179 ffun 6710 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ Fun 𝑆)
180 funiunfv 7239 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
181178, 179, 1803syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))
1826ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐢))
18312ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
184 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
185184adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
186 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
187 eldifsni 4785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
188187adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
189182, 183, 185, 186, 188, 17dprdcntz 19920 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹)))
190185fvresd 6901 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘¦) = (π‘†β€˜π‘¦))
19119ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘‹))
192191fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ (π‘β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
193189, 190, 1923sstr3d 4020 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})) β†’ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
194193ralrimiva 3138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
195 iunss 5038 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
196194, 195sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐢 βˆ– {𝑋})(π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
197181, 196eqsstrrd 4013 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
19834subgss 19044 . . . . . . . 8 ((π‘†β€˜π‘‹) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
199144, 198syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
20034, 17cntzsubg 19245 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
20157, 199, 200syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
20283mrcsscl 17563 . . . . . 6 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∧ (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
20360, 197, 201, 202syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘‹)))
20417, 115, 144, 203cntzrecd 19588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))))
205119, 144, 115, 118, 145, 170, 177, 17, 204lsmdisj3 19593 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ ((πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐢 βˆ– {𝑋})))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐷)))) = { 0 })
206141, 205sseqtrd 4014 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† { 0 })
20754, 206jca 511 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) βŠ† (π‘β€˜(π‘†β€˜π‘Œ)))) ∧ ((π‘†β€˜π‘‹) ∩ (πΎβ€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {𝑋})))) βŠ† { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {csn 4620  βˆͺ cuni 4899  βˆͺ ciun 4987   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   β€œ cima 5669  Fun wfun 6527  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Moorecmre 17525  mrClscmrc 17526  ACScacs 17528  Grpcgrp 18853  SubGrpcsubg 19037  Cntzccntz 19221  LSSumclsm 19544   DProd cdprd 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-dprd 19907
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  19958
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