Theorem spanuni 30486

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanuni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		spancl 30278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐴) ∈ Sℋ
4		spanun.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		spancl 30278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐵) ∈ Sℋ
7	3, 6	shscli 30259	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ
8	7	shssii 30155	. . . 4 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9		spanss2 30287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11		spanss2 30287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13		unss12 4142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
14	10, 12, 13	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
15	3, 6	shunssi 30310	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
16	14, 15	sstri 3953	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
17		spanss 30290	. . . 4 ⊢ ((((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))))
18	8, 16, 17	mp2an 690	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
19		spanid 30289	. . . 4 ⊢ (((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ → (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
21	18, 20	sseqtri 3980	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
22	3, 6	shseli 30258	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
23		r2ex 3192	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
24	22, 23	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
25		vex 3449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	25	elspani 30485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
28		vex 3449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
29	28	elspani 30485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))
31	27, 30	anbi12i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
32		r19.26 3114	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
33	31, 32	bitr4i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
34		r19.27v 3184	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
35	33, 34	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
36		unss 4144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦)
37		anim12 807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
38	36, 37	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
39		shaddcl 30159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦)
40	39	3expib 1122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
41	38, 40	sylan9r 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
42		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
43	42	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
44	41, 43	sylan9 508	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
45	44	expl 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
46	45	ralimia 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
47	1, 4	unssi 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
48		vex 3449	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
49	48	elspani 30485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
51	46, 50	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
53	52	exlimivv 1935	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
54	24, 53	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
55	54	ssriv 3948	. 2 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))
56	21, 55	eqssi 3960	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ℋchba 29861   +_ℎ cva 29862   S_ℋ csh 29870   +_ℋ cph 29873  spancspn 29874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-lm 22580  df-haus 22666  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-hnorm 29910  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-sh 30149  df-ch 30163  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-span 30251

This theorem is referenced by:  spanun  30487  spanunsni  30521  spansnji  30588