Theorem spanuni 31640

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanuni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		spancl 31432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐴) ∈ Sℋ
4		spanun.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		spancl 31432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐵) ∈ Sℋ
7	3, 6	shscli 31413	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ
8	7	shssii 31309	. . . 4 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9		spanss2 31441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11		spanss2 31441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13		unss12 4124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
14	10, 12, 13	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
15	3, 6	shunssi 31464	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
16	14, 15	sstri 3931	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
17		spanss 31444	. . . 4 ⊢ ((((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))))
18	8, 16, 17	mp2an 698	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
19		spanid 31443	. . . 4 ⊢ (((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ → (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
21	18, 20	sseqtri 3970	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
22	3, 6	shseli 31412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
23		r2ex 3177	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
24	22, 23	bitri 276	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
25		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	25	elspani 31639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
28		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
29	28	elspani 31639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))
31	27, 30	anbi12i 634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
32		r19.26 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
33	31, 32	bitr4i 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
34		r19.27v 3169	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
35	33, 34	sylanb 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
36		unss 4126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦)
37		anim12 814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
38	36, 37	biimtrrid 244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
39		shaddcl 31313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦)
40	39	3expib 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
41	38, 40	sylan9r 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
42		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
43	42	biimprd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
44	41, 43	sylan9 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
45	44	expl 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
46	45	ralimia 3074	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
47	1, 4	unssi 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
48		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
49	48	elspani 31639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
51	46, 50	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
53	52	exlimivv 1939	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
54	24, 53	sylbi 218	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
55	54	ssriv 3926	. 2 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))
56	21, 55	eqssi 3938	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   S_ℋ csh 31024   +_ℋ cph 31027  spancspn 31028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103  ax-hvdistr1 31104  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179  ax-his3 31180  ax-his4 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-icc 13303  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-topgen 17404  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22936  df-lm 23219  df-haus 23305  df-grpo 30589  df-gid 30590  df-ginv 30591  df-gdiv 30592  df-ablo 30641  df-vc 30655  df-nv 30688  df-va 30691  df-ba 30692  df-sm 30693  df-0v 30694  df-vs 30695  df-nmcv 30696  df-ims 30697  df-hnorm 31064  df-hvsub 31067  df-hlim 31068  df-sh 31303  df-ch 31317  df-ch0 31349  df-shs 31404  df-span 31405

This theorem is referenced by:  spanun  31641  spanunsni  31675  spansnji  31742