HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanuni 31572
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanuni (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
2 spancl 31364 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ S )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐴) ∈ S
4 spanun.2 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ℋ
5 spancl 31364 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ S )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐵) ∈ S
73, 6shscli 31345 . . . . 5 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S
87shssii 31241 . . . 4 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9 spanss2 31373 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11 spanss2 31373 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13 unss12 4197 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
1410, 12, 13mp2an 692 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
153, 6shunssi 31396 . . . . 5 ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
1614, 15sstri 4004 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
17 spanss 31376 . . . 4 ((((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))))
188, 16, 17mp2an 692 . . 3 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
19 spanid 31375 . . . 4 (((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S → (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
207, 19ax-mp 5 . . 3 (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
2118, 20sseqtri 4031 . 2 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
223, 6shseli 31344 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
23 r2ex 3193 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
2422, 23bitri 275 . . . 4 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
25 vex 3481 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2625elspani 31571 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦)))
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦))
28 vex 3481 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
2928elspani 31571 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦))
3127, 30anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
32 r19.26 3108 . . . . . . . 8 (∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
3331, 32bitr4i 278 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
34 r19.27v 3185 . . . . . . 7 ((∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
3533, 34sylanb 581 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
36 unss 4199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑦𝐵𝑦) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑦)
37 anim12 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐵𝑦) → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
3836, 37biimtrrid 243 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
39 shaddcl 31245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦S𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦)
40393expib 1121 . . . . . . . . . . 11 (𝑦S → ((𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4138, 40sylan9r 508 . . . . . . . . . 10 ((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
42 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4342biimprd 248 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
4441, 43sylan9 507 . . . . . . . . 9 (((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
4544expl 457 . . . . . . . 8 (𝑦S → ((((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
4645ralimia 3077 . . . . . . 7 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
471, 4unssi 4200 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
48 vex 3481 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
4948elspani 31571 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
5146, 50sylibr 234 . . . . . 6 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5235, 51syl 17 . . . . 5 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5352exlimivv 1929 . . . 4 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5424, 53sylbi 217 . . 3 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5554ssriv 3998 . 2 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴𝐵))
5621, 55eqssi 4011 1 (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cun 3960  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  chba 30947   + cva 30948   S csh 30956   + cph 30959  spancspn 30960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-lm 23252  df-haus 23338  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-hnorm 30996  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-sh 31235  df-ch 31249  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337
This theorem is referenced by:  spanun  31573  spanunsni  31607  spansnji  31674
  Copyright terms: Public domain W3C validator