Theorem spanuni 31471

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanuni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		spancl 31263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐴) ∈ Sℋ
4		spanun.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		spancl 31263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐵) ∈ Sℋ
7	3, 6	shscli 31244	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ
8	7	shssii 31140	. . . 4 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9		spanss2 31272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11		spanss2 31272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13		unss12 4163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
14	10, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
15	3, 6	shunssi 31295	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
16	14, 15	sstri 3968	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
17		spanss 31275	. . . 4 ⊢ ((((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))))
18	8, 16, 17	mp2an 692	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
19		spanid 31274	. . . 4 ⊢ (((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ → (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
21	18, 20	sseqtri 4007	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
22	3, 6	shseli 31243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
23		r2ex 3181	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
24	22, 23	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
25		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	25	elspani 31470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
28		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
29	28	elspani 31470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))
31	27, 30	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
32		r19.26 3098	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
33	31, 32	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
34		r19.27v 3173	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
35	33, 34	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
36		unss 4165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦)
37		anim12 808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
38	36, 37	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
39		shaddcl 31144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦)
40	39	3expib 1122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
41	38, 40	sylan9r 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
42		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
43	42	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
44	41, 43	sylan9 507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
45	44	expl 457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
46	45	ralimia 3070	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
47	1, 4	unssi 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
48		vex 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
49	48	elspani 31470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
51	46, 50	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
53	52	exlimivv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
54	24, 53	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
55	54	ssriv 3962	. 2 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))
56	21, 55	eqssi 3975	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ℋchba 30846   +_ℎ cva 30847   S_ℋ csh 30855   +_ℋ cph 30858  spancspn 30859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvmulass 30934  ax-hvdistr1 30935  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his2 31010  ax-his3 31011  ax-his4 31012

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-icc 13367  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882  df-lm 23165  df-haus 23251  df-grpo 30420  df-gid 30421  df-ginv 30422  df-gdiv 30423  df-ablo 30472  df-vc 30486  df-nv 30519  df-va 30522  df-ba 30523  df-sm 30524  df-0v 30525  df-vs 30526  df-nmcv 30527  df-ims 30528  df-hnorm 30895  df-hvsub 30898  df-hlim 30899  df-sh 31134  df-ch 31148  df-ch0 31180  df-shs 31235  df-span 31236

This theorem is referenced by:  spanun  31472  spanunsni  31506  spansnji  31573