HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanuni 31563
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanuni (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
2 spancl 31355 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ S )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐴) ∈ S
4 spanun.2 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ℋ
5 spancl 31355 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ S )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐵) ∈ S
73, 6shscli 31336 . . . . 5 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S
87shssii 31232 . . . 4 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9 spanss2 31364 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11 spanss2 31364 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13 unss12 4188 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
1410, 12, 13mp2an 692 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
153, 6shunssi 31387 . . . . 5 ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
1614, 15sstri 3993 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
17 spanss 31367 . . . 4 ((((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))))
188, 16, 17mp2an 692 . . 3 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
19 spanid 31366 . . . 4 (((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S → (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
207, 19ax-mp 5 . . 3 (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
2118, 20sseqtri 4032 . 2 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
223, 6shseli 31335 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
23 r2ex 3196 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
2422, 23bitri 275 . . . 4 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
25 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2625elspani 31562 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦)))
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦))
28 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
2928elspani 31562 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦))
3127, 30anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
32 r19.26 3111 . . . . . . . 8 (∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
3331, 32bitr4i 278 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
34 r19.27v 3188 . . . . . . 7 ((∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
3533, 34sylanb 581 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
36 unss 4190 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑦𝐵𝑦) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑦)
37 anim12 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐵𝑦) → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
3836, 37biimtrrid 243 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
39 shaddcl 31236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦S𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦)
40393expib 1123 . . . . . . . . . . 11 (𝑦S → ((𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4138, 40sylan9r 508 . . . . . . . . . 10 ((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
42 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4342biimprd 248 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
4441, 43sylan9 507 . . . . . . . . 9 (((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
4544expl 457 . . . . . . . 8 (𝑦S → ((((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
4645ralimia 3080 . . . . . . 7 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
471, 4unssi 4191 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
48 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
4948elspani 31562 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
5146, 50sylibr 234 . . . . . 6 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5235, 51syl 17 . . . . 5 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5352exlimivv 1932 . . . 4 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5424, 53sylbi 217 . . 3 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5554ssriv 3987 . 2 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴𝐵))
5621, 55eqssi 4000 1 (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cun 3949  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  chba 30938   + cva 30939   S csh 30947   + cph 30950  spancspn 30951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-lm 23237  df-haus 23323  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-sh 31226  df-ch 31240  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-span 31328
This theorem is referenced by:  spanun  31564  spanunsni  31598  spansnji  31665
  Copyright terms: Public domain W3C validator