Theorem spanuni 31631

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanuni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		spancl 31423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐴) ∈ Sℋ
4		spanun.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		spancl 31423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐵) ∈ Sℋ
7	3, 6	shscli 31404	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ
8	7	shssii 31300	. . . 4 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9		spanss2 31432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11		spanss2 31432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13		unss12 4142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
14	10, 12, 13	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
15	3, 6	shunssi 31455	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
16	14, 15	sstri 3945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
17		spanss 31435	. . . 4 ⊢ ((((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))))
18	8, 16, 17	mp2an 693	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
19		spanid 31434	. . . 4 ⊢ (((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ → (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
21	18, 20	sseqtri 3984	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
22	3, 6	shseli 31403	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
23		r2ex 3175	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
24	22, 23	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
25		vex 3446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	25	elspani 31630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
28		vex 3446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
29	28	elspani 31630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))
31	27, 30	anbi12i 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
32		r19.26 3098	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
33	31, 32	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
34		r19.27v 3167	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
35	33, 34	sylanb 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
36		unss 4144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦)
37		anim12 809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
38	36, 37	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
39		shaddcl 31304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦)
40	39	3expib 1123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
41	38, 40	sylan9r 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
42		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
43	42	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
44	41, 43	sylan9 507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
45	44	expl 457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
46	45	ralimia 3072	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
47	1, 4	unssi 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
48		vex 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
49	48	elspani 31630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
51	46, 50	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
53	52	exlimivv 1934	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
54	24, 53	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
55	54	ssriv 3939	. 2 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))
56	21, 55	eqssi 3952	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ℋchba 31006   +_ℎ cva 31007   S_ℋ csh 31015   +_ℋ cph 31018  spancspn 31019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvdistr1 31095  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-lm 23185  df-haus 23271  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-hnorm 31055  df-hvsub 31058  df-hlim 31059  df-sh 31294  df-ch 31308  df-ch0 31340  df-shs 31395  df-span 31396

This theorem is referenced by:  spanun  31632  spanunsni  31666  spansnji  31733