HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanuni 30194
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanuni (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
2 spancl 29986 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ S )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐴) ∈ S
4 spanun.2 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ℋ
5 spancl 29986 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ S )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐵) ∈ S
73, 6shscli 29967 . . . . 5 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S
87shssii 29863 . . . 4 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9 spanss2 29995 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11 spanss2 29995 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13 unss12 4129 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
1410, 12, 13mp2an 689 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
153, 6shunssi 30018 . . . . 5 ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
1614, 15sstri 3941 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
17 spanss 29998 . . . 4 ((((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))))
188, 16, 17mp2an 689 . . 3 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
19 spanid 29997 . . . 4 (((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S → (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
207, 19ax-mp 5 . . 3 (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
2118, 20sseqtri 3968 . 2 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
223, 6shseli 29966 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
23 r2ex 3188 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
2422, 23bitri 274 . . . 4 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
25 vex 3445 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2625elspani 30193 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦)))
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦))
28 vex 3445 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
2928elspani 30193 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦))
3127, 30anbi12i 627 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
32 r19.26 3110 . . . . . . . 8 (∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
3331, 32bitr4i 277 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
34 r19.27v 3180 . . . . . . 7 ((∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
3533, 34sylanb 581 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
36 unss 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑦𝐵𝑦) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑦)
37 anim12 806 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐵𝑦) → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
3836, 37syl5bir 242 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
39 shaddcl 29867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦S𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦)
40393expib 1121 . . . . . . . . . . 11 (𝑦S → ((𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4138, 40sylan9r 509 . . . . . . . . . 10 ((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
42 eleq1 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4342biimprd 247 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
4441, 43sylan9 508 . . . . . . . . 9 (((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
4544expl 458 . . . . . . . 8 (𝑦S → ((((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
4645ralimia 3079 . . . . . . 7 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
471, 4unssi 4132 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
48 vex 3445 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
4948elspani 30193 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
5146, 50sylibr 233 . . . . . 6 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5235, 51syl 17 . . . . 5 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5352exlimivv 1934 . . . 4 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5424, 53sylbi 216 . . 3 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5554ssriv 3936 . 2 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴𝐵))
5621, 55eqssi 3948 1 (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  cun 3896  wss 3898  cfv 6479  (class class class)co 7337  chba 29569   + cva 29570   S csh 29578   + cph 29581  spancspn 29582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052  ax-hilex 29649  ax-hfvadd 29650  ax-hvcom 29651  ax-hvass 29652  ax-hv0cl 29653  ax-hvaddid 29654  ax-hfvmul 29655  ax-hvmulid 29656  ax-hvmulass 29657  ax-hvdistr1 29658  ax-hvdistr2 29659  ax-hvmul0 29660  ax-hfi 29729  ax-his1 29732  ax-his2 29733  ax-his3 29734  ax-his4 29735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-icc 13187  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-topgen 17251  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-top 22149  df-topon 22166  df-bases 22202  df-lm 22486  df-haus 22572  df-grpo 29143  df-gid 29144  df-ginv 29145  df-gdiv 29146  df-ablo 29195  df-vc 29209  df-nv 29242  df-va 29245  df-ba 29246  df-sm 29247  df-0v 29248  df-vs 29249  df-nmcv 29250  df-ims 29251  df-hnorm 29618  df-hvsub 29621  df-hlim 29622  df-sh 29857  df-ch 29871  df-ch0 29903  df-shs 29958  df-span 29959
This theorem is referenced by:  spanun  30195  spanunsni  30229  spansnji  30296
  Copyright terms: Public domain W3C validator