HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanuni 28742
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanuni (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
2 spancl 28534 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ S )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐴) ∈ S
4 spanun.2 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ℋ
5 spancl 28534 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ S )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (span‘𝐵) ∈ S
73, 6shscli 28515 . . . . 5 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S
87shssii 28409 . . . 4 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9 spanss2 28543 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11 spanss2 28543 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13 unss12 3936 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
1410, 12, 13mp2an 672 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
153, 6shunssi 28566 . . . . 5 ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
1614, 15sstri 3761 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
17 spanss 28546 . . . 4 ((((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))))
188, 16, 17mp2an 672 . . 3 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
19 spanid 28545 . . . 4 (((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ∈ S → (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)))
207, 19ax-mp 5 . . 3 (span‘((span‘𝐴) + (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
2118, 20sseqtri 3786 . 2 (span‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
223, 6shseli 28514 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
23 r2ex 3209 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
2422, 23bitri 264 . . . 4 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
25 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2625elspani 28741 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦)))
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦))
28 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
2928elspani 28741 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦))
3127, 30anbi12i 612 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
32 r19.26 3212 . . . . . . . 8 (∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ↔ (∀𝑦S (𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ ∀𝑦S (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
3331, 32bitr4i 267 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)))
34 r19.27v 3218 . . . . . . 7 ((∀𝑦S ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
3533, 34sylanb 570 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
36 unss 3938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑦𝐵𝑦) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑦)
37 prth 810 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐵𝑦) → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
3836, 37syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧𝑦𝑤𝑦)))
39 shaddcl 28413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦S𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦)
40393expib 1116 . . . . . . . . . . 11 (𝑦S → ((𝑧𝑦𝑤𝑦) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4138, 40sylan9r 498 . . . . . . . . . 10 ((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
42 eleq1 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦))
4342biimprd 238 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
4441, 43sylan9 497 . . . . . . . . 9 (((𝑦S ∧ ((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
4544expl 445 . . . . . . . 8 (𝑦S → ((((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
4645ralimia 3099 . . . . . . 7 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
471, 4unssi 3939 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
48 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
4948elspani 28741 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦)))
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)) ↔ ∀𝑦S ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑦𝑥𝑦))
5146, 50sylibr 224 . . . . . 6 (∀𝑦S (((𝐴𝑦𝑧𝑦) ∧ (𝐵𝑦𝑤𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5235, 51syl 17 . . . . 5 (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5352exlimivv 2012 . . . 4 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5424, 53sylbi 207 . . 3 (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴𝐵)))
5554ssriv 3756 . 2 ((span‘𝐴) + (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴𝐵))
5621, 55eqssi 3768 1 (span‘(𝐴𝐵)) = ((span‘𝐴) + (span‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  cun 3721  wss 3723  cfv 6030  (class class class)co 6795  chil 28115   + cva 28116   S csh 28124   + cph 28127  spancspn 28128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221  ax-hilex 28195  ax-hfvadd 28196  ax-hvcom 28197  ax-hvass 28198  ax-hv0cl 28199  ax-hvaddid 28200  ax-hfvmul 28201  ax-hvmulid 28202  ax-hvmulass 28203  ax-hvdistr1 28204  ax-hvdistr2 28205  ax-hvmul0 28206  ax-hfi 28275  ax-his1 28278  ax-his2 28279  ax-his3 28280  ax-his4 28281
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-sup 8507  df-inf 8508  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-lm 21253  df-haus 21339  df-grpo 27686  df-gid 27687  df-ginv 27688  df-gdiv 27689  df-ablo 27738  df-vc 27753  df-nv 27786  df-va 27789  df-ba 27790  df-sm 27791  df-0v 27792  df-vs 27793  df-nmcv 27794  df-ims 27795  df-hnorm 28164  df-hvsub 28167  df-hlim 28168  df-sh 28403  df-ch 28417  df-ch0 28449  df-shs 28506  df-span 28507
This theorem is referenced by:  spanun  28743  spanunsni  28777  spansnji  28844
  Copyright terms: Public domain W3C validator