Theorem spanuni 31524

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
spanun.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanuni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		spancl 31316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐴) ∈ Sℋ
4		spanun.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		spancl 31316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) ∈ Sℋ )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (span‘𝐵) ∈ Sℋ
7	3, 6	shscli 31297	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ
8	7	shssii 31193	. . . 4 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ
9		spanss2 31325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘𝐴)
11		spanss2 31325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (span‘𝐵))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)
13		unss12 4135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ (span‘𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (span‘𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)))
14	10, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵))
15	3, 6	shunssi 31348	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) ∪ (span‘𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
16	14, 15	sstri 3939	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
17		spanss 31328	. . . 4 ⊢ ((((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))))
18	8, 16, 17	mp2an 692	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
19		spanid 31327	. . . 4 ⊢ (((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ∈ Sℋ → (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (span‘((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
21	18, 20	sseqtri 3978	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ⊆ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))
22	3, 6	shseli 31296	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
23		r2ex 3169	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (span‘𝐴)∃𝑤 ∈ (span‘𝐵)𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
24	22, 23	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
25		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	25	elspani 31523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
28		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
29	28	elspani 31523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (span‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))
31	27, 30	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
32		r19.26 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ Sℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
33	31, 32	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
34		r19.27v 3161	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
35	33, 34	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
36		unss 4137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦)
37		anim12 808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
38	36, 37	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)))
39		shaddcl 31197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦)
40	39	3expib 1122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
41	38, 40	sylan9r 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
42		eleq1 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦))
43	42	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
44	41, 43	sylan9 507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Sℋ ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦))) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
45	44	expl 457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Sℋ → ((((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
46	45	ralimia 3066	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
47	1, 4	unssi 4138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
48		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
49	48	elspani 31523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
51	46, 50	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ Sℋ (((𝐴 ⊆ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
53	52	exlimivv 1933	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ (span‘𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (span‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
54	24, 53	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
55	54	ssriv 3933	. 2 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ⊆ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))
56	21, 55	eqssi 3946	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   S_ℋ csh 30908   +_ℋ cph 30911  spancspn 30912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-lm 23144  df-haus 23230  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-hnorm 30948  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-sh 31187  df-ch 31201  df-ch0 31233  df-shs 31288  df-span 31289

This theorem is referenced by:  spanun  31525  spanunsni  31559  spansnji  31626