MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsproplem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsproplem13 27944
Description: Lemma for surreal multiplication. Remove the restriction on ๐ถ and ๐ท from mulsproplem12 27943. (Contributed by Scott Fenton, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsproplem.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
mulsproplem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
mulsproplem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
mulsproplem.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
mulsproplem.5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ No )
mulsproplem.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
mulsproplem.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ <s ๐น)
mulsproplem13.1 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
Assertion
Ref Expression
mulsproplem13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ถ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ท,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘’,๐‘“,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)

Proof of Theorem mulsproplem13
Dummy variables ๐‘” โ„Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulsproplem.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
21adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
3 mulsproplem.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
43adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
5 mulsproplem.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
65adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ ๐ท โˆˆ No )
7 mulsproplem.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
87adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
9 mulsproplem.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ No )
109adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ ๐น โˆˆ No )
11 mulsproplem.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
1211adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
13 mulsproplem.7 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ <s ๐น)
1413adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ ๐ธ <s ๐น)
15 simpr 484 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
16 mulsproplem13.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
1716adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
182, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17mulsproplem12 27943 . 2 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
193adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
205adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ No )
21 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท))
2211adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
23 nodense 27541 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ท โˆˆ No ) โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง ๐ถ <s ๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท))
2419, 20, 21, 22, 23syl22anc 836 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท))
25 unidm 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))) = ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))
26 unidm 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) = (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))
27 bday0s 27677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( bday โ€˜ 0s ) = โˆ…
2827, 27oveq12i 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) = (โˆ… +no โˆ…)
29 0elon 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โˆ… โˆˆ On
30 naddrid 8678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… +no โˆ…) = โˆ…)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ… +no โˆ…) = โˆ…
3228, 31eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) = โˆ…
3325, 26, 323eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))) = โˆ…
3433uneq2i 4152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…)
35 un0 4382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น))
3634, 35eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น))
37 ssun1 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
38 ssun2 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
3937, 38sstri 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
40 ssun2 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
4139, 40sstri 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
4236, 41eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
4342sseli 3970 . . . . . . . . . . 11 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
4443imim1i 63 . . . . . . . . . 10 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
45446ralimi 3119 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
461, 45syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
4746, 3, 9mulsproplem11 27942 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทs ๐น) โˆˆ No )
4833uneq2i 4152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…)
49 un0 4382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ))
5048, 49eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ))
51 ssun1 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)))
52 ssun1 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
5351, 52sstri 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
5453, 40sstri 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
5550, 54eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
5655sseli 3970 . . . . . . . . . . 11 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
5756imim1i 63 . . . . . . . . . 10 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
58576ralimi 3119 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
591, 58syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
6059, 3, 7mulsproplem11 27942 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทs ๐ธ) โˆˆ No )
6147, 60subscld 27889 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ No )
6261adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ No )
6346adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
64 simprr1 1218 . . . . . . . . 9 ((( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท))) โ†’ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))
6564adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))
66 bdayelon 27625 . . . . . . . . 9 ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ On
67 simprrl 778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ No )
68 oldbday 27743 . . . . . . . . 9 ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ No ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
6966, 67, 68sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
7065, 69mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)))
719adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐น โˆˆ No )
7263, 70, 71mulsproplem2 27933 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (๐‘ฅ ยทs ๐น) โˆˆ No )
7359adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
747adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
7573, 70, 74mulsproplem2 27933 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (๐‘ฅ ยทs ๐ธ) โˆˆ No )
7672, 75subscld 27889 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทs ๐น) -s (๐‘ฅ ยทs ๐ธ)) โˆˆ No )
7733uneq2i 4152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…)
78 un0 4382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))
7977, 78eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))
80 ssun2 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)))
8180, 52sstri 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
8281, 40sstri 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
8379, 82eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
8483sseli 3970 . . . . . . . . . . 11 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
8584imim1i 63 . . . . . . . . . 10 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
86856ralimi 3119 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
871, 86syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
8887, 5, 9mulsproplem11 27942 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยทs ๐น) โˆˆ No )
8933uneq2i 4152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…)
90 un0 4382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))
9189, 90eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))
92 ssun2 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
9392, 38sstri 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
9493, 40sstri 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
9591, 94eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
9695sseli 3970 . . . . . . . . . . 11 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
9796imim1i 63 . . . . . . . . . 10 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
98976ralimi 3119 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
991, 98syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
10099, 5, 7mulsproplem11 27942 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยทs ๐ธ) โˆˆ No )
10188, 100subscld 27889 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ No )
102101adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ No )
1031mulsproplemcbv 27931 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))))
104103adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))))
105 onelss 6396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ On โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โ†’ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ถ)))
10666, 65, 105mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ถ))
107 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท))
108106, 107sseqtrd 4014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ท))
109 bdayelon 27625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On
110 bdayelon 27625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ On
111 bdayelon 27625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday โ€˜๐น) โˆˆ On
112 naddss1 8684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ On) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ท) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))))
113109, 110, 111, 112mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ท) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)))
114108, 113sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)))
115 unss2 4173 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โ†’ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))))
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))))
117 bdayelon 27625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ On
118 naddss1 8684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ On) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ท) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
119109, 110, 117, 118mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ท) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
120108, 119sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
121 unss2 4173 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โ†’ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
123 unss12 4174 . . . . . . . . . . . 12 ((((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆง ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โ†’ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
124116, 122, 123syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
125 unss2 4173 . . . . . . . . . . 11 ((((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
127126sseld 3973 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))))
128127imim1d 82 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜)))))))
129128ralimd6v 3200 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜)))))))
130104, 129mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))))
1313adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
132 simprr2 1219 . . . . . . 7 ((( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท))) โ†’ ๐ถ <s ๐‘ฅ)
133132adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐ถ <s ๐‘ฅ)
13413adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐ธ <s ๐น)
13565olcd 871 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆจ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
13616adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
137130, 131, 67, 74, 71, 133, 134, 135, 136mulsproplem12 27943 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐‘ฅ ยทs ๐น) -s (๐‘ฅ ยทs ๐ธ)))
138 naddss1 8684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ On) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ถ) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
139109, 66, 117, 138mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ถ) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
140106, 139sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
141 unss1 4171 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))))
143 naddss1 8684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ On โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ On) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ถ) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น))))
144109, 66, 111, 143mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐‘ฅ) โІ ( bday โ€˜๐ถ) โ†” (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)))
145106, 144sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)))
146 unss1 4171 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
148 unss12 4174 . . . . . . . . . . . 12 ((((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆง ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
149142, 147, 148syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
150 unss2 4173 . . . . . . . . . . 11 ((((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
152151sseld 3973 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))))
153152imim1d 82 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜)))))))
154153ralimd6v 3200 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜)))))))
155104, 154mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No โˆ€๐‘˜ โˆˆ No โˆ€๐‘™ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜โ„Ž)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘˜)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘™))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘–) +no ( bday โ€˜๐‘™)) โˆช (( bday โ€˜๐‘—) +no ( bday โ€˜๐‘˜))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘ฅ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘” ยทs โ„Ž) โˆˆ No โˆง ((๐‘– <s ๐‘— โˆง ๐‘˜ <s ๐‘™) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐‘™) -s (๐‘– ยทs ๐‘˜)) <s ((๐‘— ยทs ๐‘™) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))))))
1565adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐ท โˆˆ No )
157 simprr3 1220 . . . . . . 7 ((( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐ท)
158157adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐ท)
15965, 107eleqtrd 2827 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท))
160159orcd 870 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐‘ฅ)))
161155, 67, 156, 74, 71, 158, 134, 160, 136mulsproplem12 27943 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทs ๐น) -s (๐‘ฅ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
16262, 76, 102, 137, 161slttrd 27608 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท)))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
163162anassrs 467 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ No โˆง (( bday โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ๐ถ <s ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <s ๐ท))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
16424, 163rexlimddv 3153 . 2 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
16566onordi 6465 . . . . 5 Ord ( bday โ€˜๐ถ)
166110onordi 6465 . . . . 5 Ord ( bday โ€˜๐ท)
167 ordtri3or 6386 . . . . 5 ((Ord ( bday โ€˜๐ถ) โˆง Ord ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
168165, 166, 167mp2an 689 . . . 4 (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))
169 df-3or 1085 . . . . 5 ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
170 or32 922 . . . . 5 (((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)))
171169, 170bitri 275 . . . 4 ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)))
172168, 171mpbi 229 . . 3 ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท))
173172a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โˆจ ( bday โ€˜๐ถ) = ( bday โ€˜๐ท)))
17418, 164, 173mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆจ w3o 1083   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062   โˆช cun 3938   โІ wss 3940  โˆ…c0 4314   class class class wbr 5138  Ord word 6353  Oncon0 6354  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   +no cnadd 8660   No csur 27489   <s cslt 27490   bday cbday 27491   0s c0s 27671   O cold 27686   -s csubs 27849   ยทs cmuls 27922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8661  df-no 27492  df-slt 27493  df-bday 27494  df-sle 27594  df-sslt 27630  df-scut 27632  df-0s 27673  df-made 27690  df-old 27691  df-left 27693  df-right 27694  df-norec 27771  df-norec2 27782  df-adds 27793  df-negs 27850  df-subs 27851  df-muls 27923
This theorem is referenced by:  mulsproplem14  27945
  Copyright terms: Public domain W3C validator