Theorem mblfinlem3 35816

Description: The difference between two sets measurable by the criterion in ismblfin 35818 is itself measurable by the same. Corollary 0.3 of [Viaclovsky7] p. 3. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Mar-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 13-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
mblfinlem3	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏,𝐴   𝐵,𝑏,𝑦

Proof of Theorem mblfinlem3

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11055	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → < Or ℝ)
3		difss 4066	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ovolsscl 24650	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
5	3, 4	mp3an1 1447	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
7		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑢 = (vol‘𝑏)))
9	8	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))))
10	9	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))))
11	7, 10	elab 3609	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))
12		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
13		ssdifss 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
14		ovolss 24649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
16		uniretop 23926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
17	16	cldss 22180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑏 ⊆ ℝ)
18		ovolcl 24642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ*)
20		ovolcl 24642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
22		xrlenlt 11040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((vol*‘𝑏) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
23	19, 21, 22	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
24	23	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (vol‘𝑏) → 𝑢 = (vol‘𝑏))
26		dfss4 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) = 𝑏)
27	17, 26	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) = 𝑏)
28		rembl 24704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ∈ dom vol
29	16	cldopn 22182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ (topGen‘ran (,)))
30		opnmbl 24766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑏) ∈ (topGen‘ran (,)) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol)
32		difmbl 24707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℝ ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) ∈ dom vol)
33	28, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) ∈ dom vol)
34	27, 33	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑏 ∈ dom vol)
35		mblvol 24694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ dom vol → (vol‘𝑏) = (vol*‘𝑏))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑏) = (vol*‘𝑏))
37	25, 36	sylan9eqr 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → 𝑢 = (vol*‘𝑏))
38	37	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
39	38	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
40	39	adantrl 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
42	24, 41	bitr4d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢))
43	15, 42	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
44	43	rexlimdvaa 3214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢))
45	44	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
46	11, 45	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
47	46	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
48	47	3ad2antl1 1184	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
49		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
50		resubcl 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
51	50	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
52		posdif 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
53	52	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
54	53	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) → 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
55	54	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
56	51, 55	elrpd 12769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ+)
57		3nn 12052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℕ
58		nnrp 12741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ+
60		rpdivcl 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
61	56, 59, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
62	5, 61	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
63	49, 62	ltsubrpd 12804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐴))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐴))
65		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
66	64, 65	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
67		reex 10962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	ssex 5245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ V)
70		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
71		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (vol*‘𝑣) = (vol*‘𝐴))
72	71	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
73	70, 72	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)))
74		sseq2 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
75	74	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
76	75	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
77	76	abbidv 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))})
78	77	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ))
79	77	neeq1d 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅))
80	77	raleqdv 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
81	80	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
82	78, 79, 81	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
83	73, 82	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))))
84		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → 𝑦 = (vol‘𝑏))
85	84, 36	sylan9eqr 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))) → 𝑦 = (vol*‘𝑏))
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → 𝑦 = (vol*‘𝑏))
87		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝑣)
88		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
89	88	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
90	89	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
91	87, 90	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
92	86, 91	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
93	92	rexlimdvaa 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → 𝑦 ∈ ℝ))
94	93	abssdv 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ)
95		retop 23925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
96		0cld 22189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
98		0ss 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∅ ⊆ 𝑣
99		0mbl 24703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ∅ ∈ dom vol
100		mblvol 24694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
102		ovol0 24657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (vol*‘∅) = 0
103	101, 102	eqtr2i 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 = (vol‘∅)
104	98, 103	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))
105		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ ∅ ⊆ 𝑣))
106		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 = ∅ → (vol‘𝑏) = (vol‘∅))
107	106	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ∅ → (0 = (vol‘𝑏) ↔ 0 = (vol‘∅)))
108	105, 107	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)) ↔ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))))
109	108	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)))
110	97, 104, 109	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))
111		c0ex 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ V
112		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 0 = (vol‘𝑏)))
113	112	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))))
114	113	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))))
115	111, 114	spcev 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)) → ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))
116	110, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))
117		abn0 4314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))
118	117	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅)
119	116, 118	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅)
120		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 = (vol‘𝑏))
121	120, 36	sylan9eqr 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))) → 𝑧 = (vol*‘𝑏))
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → 𝑧 = (vol*‘𝑏))
123		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝑣)
124		ovolss 24649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
125	124	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
126	123, 125	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
127	122, 126	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣))
128	127	rexlimdvaa 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
129	128	alrimiv 1930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → ∀𝑧(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
130		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑧 = (vol‘𝑏)))
131	130	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))))
132	131	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))))
133	132	ralab 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣) ↔ ∀𝑧(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
134	129, 133	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣))
135		brralrspcev 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
136	134, 135	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
137	136	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
138	94, 119, 137	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
139	83, 138	vtoclg 3505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
140	69, 139	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
142	62	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
143	49, 142	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
144		suprlub 11939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
145	141, 143, 144	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
147	66, 146	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣)
148		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑣 = (vol‘𝑏)))
149	148	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
150	149	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
151	150	rexab 3631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
152		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (vol‘𝑏) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
153	152	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
154		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
155		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (vol‘𝑠) = (vol‘𝑏))
156	155	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠) ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
157	154, 156	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))))
158	157	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
159	158	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
160	159	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
161	153, 160	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
162	161	rexlimiva 3210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
163	162	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
164	163	exlimiv 1933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
165	151, 164	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
166	147, 165	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
167	166	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
168	167	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
169		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
170	62	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
171	169, 170	ltsubrpd 12804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐵))
172	171	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐵))
173		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
174	172, 173	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
175	67	ssex 5245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
176	175	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ V)
177		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ))
178		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (vol*‘𝑣) = (vol*‘𝐵))
179	178	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
180	177, 179	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
181		sseq2 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
182	181	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
183	182	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
184	183	abbidv 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))})
185	184	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ))
186	184	neeq1d 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅))
187	184	raleqdv 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
188	187	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
189	185, 186, 188	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
190	180, 189	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))))
191	190, 138	vtoclg 3505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
192	176, 191	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
193	192	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
194	142	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
195	169, 194	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
196		suprlub 11939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
197	193, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
198	197	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
199	174, 198	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣)
200	148	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
201	200	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
202	201	rexab 3631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
203		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (vol‘𝑏) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
204	203	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
205		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
206		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (vol‘𝑤) = (vol‘𝑏))
207	206	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤) ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
208	205, 207	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))))
209	208	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
210	209	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
211	210	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
212	204, 211	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
213	212	rexlimiva 3210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
214	213	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
215	214	exlimiv 1933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
216	202, 215	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
217	199, 216	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
218	217	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
219	168, 218	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))))
220		reeanv 3294	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) ↔ (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
221	219, 220	syl6ibr 251	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))))
222		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
223	222	ovolgelb 24644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
224	223	3expa 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
225	62, 224	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
226	225	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
227	226	an32s 649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
228		elmapi 8637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
229		ssid 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
230	222	ovollb 24643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
231	229, 230	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
232	231	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
233		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
234	233, 222	ovolsf 24636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
235		frn 6607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ (0[,)+∞))
236		icossxr 13164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
237	235, 236	sstrdi 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
238		supxrcl 13049	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
239	234, 237, 238	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
240		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
241		readdcl 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
242	240, 142, 241	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
243	242	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*)
244	243	an32s 649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*)
245		rncoss 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ran (,)
246	245	unissi 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran (,)
247		unirnioo 13181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
248	246, 247	sseqtrri 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ
249		ovolcl 24642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ*)
250	248, 249	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ*
251		xrletr 12892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
252	250, 251	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
253	239, 244, 252	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
254	232, 253	mpand 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
255	228, 254	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
256	255	anim2d 612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))))
257	256	reximdva 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))))
258	227, 257	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
259		rexex 3171	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → ∃𝑓(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
260	258, 259	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
261	16	cldss 22180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑠 ⊆ ℝ)
262		indif2 4204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = ((𝑠 ∩ ℝ) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
263		df-ss 3904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ ↔ (𝑠 ∩ ℝ) = 𝑠)
264	263	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → (𝑠 ∩ ℝ) = 𝑠)
265	264	difeq1d 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → ((𝑠 ∩ ℝ) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
266	262, 265	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
267	261, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
268		retopbas 23924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
269		bastg 22116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
270	268, 269	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
271	245, 270	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,))
272		uniopn 22046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,))) → ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,)))
273	95, 271, 272	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,))
274	16	opncld 22184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
275	95, 273, 274	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
276		incld 22194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
277	275, 276	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
278	267, 277	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
279	278	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
280	279	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
281		simprll 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
282		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
283	281, 282	ssdif2d 4078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
284		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = 𝑏 → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))
285	284	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))
286	285	biantrud 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
287		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)))
288	286, 287	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)))
289	288	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
290	280, 283, 289	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
291	290	adantlll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
292		difss 4066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
293	292, 3	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
294		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
295	293, 294	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
296	295	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
297	5	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
298		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → 𝑢 ∈ ℝ)
299	298	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
300		difdif2 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
301	300	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) = (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
302		difss 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
303	302, 3	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴
304		inss1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
305	304, 3	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ 𝐴
306	303, 305	unssi 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
307		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
308	306, 307	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
309	308	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
310		difss 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴
311		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
312	310, 311	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
313	312	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
314	169, 194	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
315	314, 250	jctil 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ))
316		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
317		ovolge0 24645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
318	248, 317	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
319	316, 318	jctil 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
320		xrrege0 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)
321	315, 319, 320	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)
322		difss 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
323		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
324	322, 248, 323	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
325	321, 324	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
326	325	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
327	313, 326	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
328	5, 50	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
329	328	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
330	329	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
331	330	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
332		ssdifss 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
333	322, 248	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ
334		unss 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
335	332, 333, 334	sylanblc 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
336		ovolcl 24642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
337	335, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
338	337	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
339	312	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
340	339, 325	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
341		ovolge0 24645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
342	335, 341	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
343	342	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
344	332	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
345	344, 312	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ))
346	345	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ))
347	325, 333	jctil 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ))
348		ovolun 24663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ) ∧ ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
349	346, 347, 348	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
350		xrrege0 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∧ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
351	338, 340, 343, 349, 350	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
352	351	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
353		ssdif 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠))
354	3, 353	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠)
355		incom 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵))
356		indif2 4204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)
357	355, 356	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)
358		inss1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
359	358	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
360		simprrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑤 ⊆ 𝐵)
361	359, 360	ssdif2d 4078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))
362	357, 361	eqsstrid 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))
363		unss12 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
364	354, 362, 363	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
365	335	ad6antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
366		ovolss 24649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∧ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
367	364, 365, 366	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
368	332	ad6antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
369	326, 333	jctil 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ))
370	368, 313, 369, 348	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
371	309, 352, 327, 367, 370	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
372	194	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
373	194, 194	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
374	373	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
375		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑏 = 𝑠 → (𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑠 ∈ dom vol))
376	375, 34	vtoclga 3513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑠 ∈ dom vol)
377		mblvol 24694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ dom vol → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
378	376, 377	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
379	378	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
380		sseqin2 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑠) = 𝑠)
381	380	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑠) = 𝑠)
382	381	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → 𝑠 = (𝐴 ∩ 𝑠))
383	382	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → (vol*‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
384	383	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → (vol*‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
385	379, 384	sylan9eq 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
386	385	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))))
387	386	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))))
388	376	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → 𝑠 ∈ dom vol)
389		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
390		mblsplit 24696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))))
391	390	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
392	391	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
393	388, 389, 392	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
394	393	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
395		simp-6r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
396	395	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
397		inss1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑠) ⊆ 𝐴
398		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑠) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℝ)
399	397, 398	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℝ)
400	399	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℂ)
401	400	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℂ)
402	312	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℂ)
403	402	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℂ)
404	396, 401, 403	subaddd 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ↔ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴)))
405	394, 404	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)))
406	387, 405	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)))
407	379	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
408		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
409		simp-4l 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
410		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
411	410	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
412	408, 409, 411	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
413	407, 412	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) ∈ ℝ)
414		simprlr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))
415	395, 372, 413, 414	ltsub23d 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
416	406, 415	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
417	321	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℂ)
418	417	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℂ)
419	240	ad5antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
420	419	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℂ)
421		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑤 ∈ dom vol))
422	421, 34	vtoclga 3513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑤 ∈ dom vol)
423		mblvol 24694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ dom vol → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
424	422, 423	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
425	424	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
426	425	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
427		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → 𝑤 ⊆ 𝐵)
428		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
429		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
430	429	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
431	427, 428, 430	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
432	426, 431	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) ∈ ℝ)
433	432	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) ∈ ℂ)
434	418, 420, 433	npncand 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) = ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol‘𝑤)))
435		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
436	427, 435	sylan9ssr 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑤 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
437		sseqin2 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) = 𝑤)
438	436, 437	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) = 𝑤)
439	438	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) = (vol*‘𝑤))
440	426, 439	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)))
441	440	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol‘𝑤)) = ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))))
442	422	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → 𝑤 ∈ dom vol)
443	321, 248	jctil 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ))
444		mblsplit 24696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
445	444	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
446	445	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
447	442, 443, 446	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
448	447	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
449		inss1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
450		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
451	449, 248, 450	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
452	321, 451	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
453	452	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℂ)
454	325	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℂ)
455	417, 453, 454	subaddd 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ↔ ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
456	455	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ↔ ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
457	448, 456	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
458	434, 441, 457	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
459	240	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
460	321, 459	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
461	460	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
462	419, 432	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤)) ∈ ℝ)
463		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
464	194	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
465	321, 459, 464	lesubadd2d 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ↔ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
466	463, 465	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
467	466	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
468		simprrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))
469	419, 372, 432, 468	ltsub23d 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
470	461, 462, 372, 372, 467, 469	leltaddd 11597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
471	458, 470	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
472	313, 326, 372, 374, 416, 471	lt2addd 11598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
473		df-3 12037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 = (2 + 1)
474		2cn 12048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
475		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℂ
476	474, 475	addcomi 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
477	473, 476	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 = (1 + 2)
478	477	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
479	62	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ)
480		adddir 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
481	475, 474, 480	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
482	479, 481	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
483	479	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
484	479	2timesd 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
485	483, 484	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
486	482, 485	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
487	478, 486	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
488	329	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ)
489		3cn 12054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ∈ ℂ
490		3ne0 12079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
491		divcan2 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
492	489, 490, 491	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
493	488, 492	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
494	487, 493	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
495	494	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
496	495	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
497	472, 496	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
498	309, 327, 331, 371, 497	lelttrd 11133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
499	301, 498	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
500	296, 297, 299, 499	ltsub13d 11581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
501	283	adantlll 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
502		sseqin2 4149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
503	501, 502	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
504	503	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
505		opnmbl 24766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,)) → ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol)
506	273, 505	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol
507		difmbl 24707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
508	376, 506, 507	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
509	508	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
510	509	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
511	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
512	511, 5	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ))
513	512	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ))
514		mblsplit 24696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
515	514	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
516	515	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
517	510, 513, 516	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
518	297	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
519	296	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℂ)
520		inss1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
521	520, 3	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
522		ovolsscl 24650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
523	521, 522	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
524	523	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
525	524	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℂ)
526	518, 519, 525	subadd2d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ↔ ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
527	517, 526	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))))
528		mblvol 24694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
529	507, 528	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
530	376, 506, 529	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
531	530	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
532	531	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
533	504, 527, 532	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
534	500, 533	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
535		fvex 6787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ V
536		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑣 = (vol‘𝑏) ↔ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
537	536	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
538	537	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
539		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑢 < 𝑣 ↔ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))))
540	538, 539	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣) ↔ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
541	535, 540	spcev 3545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) → ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
542	291, 534, 541	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
543	148	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
544	543	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
545	544	rexab 3631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
546	542, 545	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣)
547	546	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
548	547	rexlimdvva 3223	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
549	260, 548	exlimddv 1938	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
550	221, 549	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
551	550	exp31 420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))))
552	551	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))))
553	552	3imp1 1346	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣)
554	2, 6, 48, 553	eqsupd 9216	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   Or wor 5502   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  ℝ⁺crp 12730  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  seqcseq 13721  abscabs 14945  topGenctg 17148  Topctop 22042  TopBasesctb 22095  Clsdccld 22167  vol*covol 24626  volcvol 24627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cld 22170  df-cmp 22538  df-ovol 24628  df-vol 24629

This theorem is referenced by:  ismblfin  35818