Theorem mblfinlem3 37643

Description: The difference between two sets measurable by the criterion in ismblfin 37645 is itself measurable by the same. Corollary 0.3 of [Viaclovsky7] p. 3. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Mar-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 13-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
mblfinlem3	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑏,𝐴   𝐵,𝑏,𝑦

Proof of Theorem mblfinlem3

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11196	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → < Or ℝ)
3		difss 4087	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ovolsscl 25385	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
5	3, 4	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
7		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑢 = (vol‘𝑏)))
9	8	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))))
10	9	rexbidv 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))))
11	7, 10	elab 3635	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))
12		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
13		ssdifss 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
14		ovolss 25384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
16		uniretop 24648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
17	16	cldss 22914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑏 ⊆ ℝ)
18		ovolcl 25377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ*)
20		ovolcl 25377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
22		xrlenlt 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((vol*‘𝑏) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
23	19, 21, 22	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
24	23	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (vol‘𝑏) → 𝑢 = (vol‘𝑏))
26		dfss4 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) = 𝑏)
27	17, 26	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) = 𝑏)
28		rembl 25439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ∈ dom vol
29	16	cldopn 22916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ (topGen‘ran (,)))
30		opnmbl 25501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑏) ∈ (topGen‘ran (,)) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol)
32		difmbl 25442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℝ ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝑏) ∈ dom vol) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) ∈ dom vol)
33	28, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝑏)) ∈ dom vol)
34	27, 33	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑏 ∈ dom vol)
35		mblvol 25429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ dom vol → (vol‘𝑏) = (vol*‘𝑏))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑏) = (vol*‘𝑏))
37	25, 36	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → 𝑢 = (vol*‘𝑏))
38	37	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
39	38	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
40	39	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢 ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < (vol*‘𝑏)))
42	24, 41	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ((vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢))
43	15, 42	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)))) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
44	43	rexlimdvaa 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏)) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢))
45	44	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑢 = (vol‘𝑏))) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
46	11, 45	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
47	46	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
48	47	3ad2antl1 1186	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) ∧ 𝑢 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}) → ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) < 𝑢)
49		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
50		resubcl 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
51	50	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
52		posdif 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
53	52	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
54	53	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) → 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢)))
55	54	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → 0 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
56	51, 55	elrpd 12934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ+)
57		3nn 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℕ
58		nnrp 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ+
60		rpdivcl 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
61	56, 59, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
62	5, 61	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
63	49, 62	ltsubrpd 12969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐴))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐴))
65		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
66	64, 65	breqtrd 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
67		reex 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	ssex 5260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ V)
70		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
71		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (vol*‘𝑣) = (vol*‘𝐴))
72	71	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
73	70, 72	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)))
74		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
75	74	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
76	75	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
77	76	abbidv 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))})
78	77	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ))
79	77	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅))
80	77	raleqdv 3289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
81	80	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
82	78, 79, 81	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
83	73, 82	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))))
84		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → 𝑦 = (vol‘𝑏))
85	84, 36	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))) → 𝑦 = (vol*‘𝑏))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → 𝑦 = (vol*‘𝑏))
87		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝑣)
88		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
89	88	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
90	89	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
91	87, 90	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ∈ ℝ)
92	86, 91	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
93	92	rexlimdvaa 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → 𝑦 ∈ ℝ))
94	93	abssdv 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ)
95		retop 24647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
96		0cld 22923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
98		0ss 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∅ ⊆ 𝑣
99		0mbl 25438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ∅ ∈ dom vol
100		mblvol 25429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
102		ovol0 25392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (vol*‘∅) = 0
103	101, 102	eqtr2i 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 = (vol‘∅)
104	98, 103	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))
105		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ ∅ ⊆ 𝑣))
106		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 = ∅ → (vol‘𝑏) = (vol‘∅))
107	106	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ∅ → (0 = (vol‘𝑏) ↔ 0 = (vol‘∅)))
108	105, 107	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)) ↔ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))))
109	108	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∅ ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘∅))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)))
110	97, 104, 109	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))
111		c0ex 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ V
112		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 0 = (vol‘𝑏)))
113	112	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))))
114	113	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏))))
115	111, 114	spcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = (vol‘𝑏)) → ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))
116	110, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))
117		abn0 4336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)))
118	117	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅)
119	116, 118	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅)
120		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 = (vol‘𝑏))
121	120, 36	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))) → 𝑧 = (vol*‘𝑏))
122	121	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → 𝑧 = (vol*‘𝑏))
123		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝑣)
124		ovolss 25384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
125	124	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
126	123, 125	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → (vol*‘𝑏) ≤ (vol*‘𝑣))
127	122, 126	eqbrtrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)))) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣))
128	127	rexlimdvaa 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
129	128	alrimiv 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → ∀𝑧(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
130		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑧 = (vol‘𝑏)))
131	130	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))))
132	131	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏))))
133	132	ralab 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣) ↔ ∀𝑧(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = (vol‘𝑏)) → 𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)))
134	129, 133	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣))
135		brralrspcev 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ (vol*‘𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
136	134, 135	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
137	136	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)
138	94, 119, 137	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
139	83, 138	vtoclg 3509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
140	69, 139	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
142	62	rpred 12937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
143	49, 142	resubcld 11548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
144		suprlub 12089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
145	141, 143, 144	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
147	66, 146	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣)
148		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (vol‘𝑏) ↔ 𝑣 = (vol‘𝑏)))
149	148	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
150	149	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
151	150	rexab 3655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
152		breq2 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (vol‘𝑏) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
153	152	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
154		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
155		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (vol‘𝑠) = (vol‘𝑏))
156	155	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠) ↔ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
157	154, 156	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑏 → ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))))
158	157	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
159	158	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
160	159	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
161	153, 160	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
162	161	rexlimiva 3122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) → (((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
163	162	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
164	163	exlimiv 1930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
165	151, 164	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
166	147, 165	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)))
167	166	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
168	167	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))))
169		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
170	62	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+)
171	169, 170	ltsubrpd 12969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐵))
172	171	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol*‘𝐵))
173		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
174	172, 173	breqtrd 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))
175	67	ssex 5260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ V)
177		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ))
178		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (vol*‘𝑣) = (vol*‘𝐵))
179	178	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((vol*‘𝑣) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
180	177, 179	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
181		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
182	181	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
183	182	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))))
184	183	abbidv 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))})
185	184	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ))
186	184	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅))
187	184	raleqdv 3289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
188	187	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
189	185, 186, 188	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
190	180, 189	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (((𝑣 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑣) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))))
191	190, 138	vtoclg 3509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥)))
192	176, 191	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
193	192	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥))
194	142	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
195	169, 194	resubcld 11548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
196		suprlub 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ⊆ ℝ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑧 ≤ 𝑥) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
197	193, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
198	197	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
199	174, 198	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣)
200	148	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
201	200	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
202	201	rexab 3655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣))
203		breq2 5096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (vol‘𝑏) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
204	203	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
205		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
206		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (vol‘𝑤) = (vol‘𝑏))
207	206	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤) ↔ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏)))
208	205, 207	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))))
209	208	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏))) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
210	209	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
211	210	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑏) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
212	204, 211	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
213	212	rexlimiva 3122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) → (((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
214	213	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
215	214	exlimiv 1930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
216	202, 215	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))} ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < 𝑣 → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
217	199, 216	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))
218	217	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) → ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
219	168, 218	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))))
220		reeanv 3201	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) ↔ (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ ∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))))
221	219, 220	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))))
222		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
223	222	ovolgelb 25379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
224	223	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
225	62, 224	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
226	225	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
227	226	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
228		elmapi 8776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
229		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
230	222	ovollb 25378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
231	229, 230	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
232	231	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
233		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
234	233, 222	ovolsf 25371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
235		frn 6659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ (0[,)+∞))
236		icossxr 13335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
237	235, 236	sstrdi 3948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
238		supxrcl 13217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
239	234, 237, 238	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
240		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
241		readdcl 11092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
242	240, 142, 241	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
243	242	rexrd 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*)
244	243	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*)
245		rncoss 5918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ran (,)
246	245	unissi 4867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ∪ ran (,)
247		unirnioo 13352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
248	246, 247	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ
249		ovolcl 25377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ*)
250	248, 249	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ*
251		xrletr 13060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
252	250, 251	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ*) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
253	239, 244, 252	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
254	232, 253	mpand 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))) → (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
255	228, 254	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
256	255	anim2d 612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)) → ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))))
257	256	reximdva 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))))
258	227, 257	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
259		rexex 3059	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → ∃𝑓(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
260	258, 259	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑓(𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
261	16	cldss 22914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑠 ⊆ ℝ)
262		indif2 4232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = ((𝑠 ∩ ℝ) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
263		dfss2 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ ↔ (𝑠 ∩ ℝ) = 𝑠)
264	263	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → (𝑠 ∩ ℝ) = 𝑠)
265	264	difeq1d 4076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → ((𝑠 ∩ ℝ) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
266	262, 265	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
267	261, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
268		retopbas 24646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
269		bastg 22851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
270	268, 269	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
271	245, 270	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,))
272		uniopn 22782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ (topGen‘ran (,))) → ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,)))
273	95, 271, 272	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,))
274	16	opncld 22918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
275	95, 273, 274	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
276		incld 22928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
277	275, 276	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∩ (ℝ ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
278	267, 277	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
279	278	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
280	279	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
281		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
282		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
283	281, 282	ssdif2d 4099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
284		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = 𝑏 → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))
285	284	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))
286	285	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
287		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)))
288	286, 287	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)))
289	288	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
290	280, 283, 289	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
291	290	adantlll 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
292		difss 4087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
293	292, 3	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
294		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
295	293, 294	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
296	295	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
297	5	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
298		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → 𝑢 ∈ ℝ)
299	298	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
300		difdif2 4247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
301	300	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) = (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
302		difss 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
303	302, 3	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴
304		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
305	304, 3	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ 𝐴
306	303, 305	unssi 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
307		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
308	306, 307	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
309	308	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
310		difss 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴
311		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
312	310, 311	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
313	312	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
314	169, 194	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
315	314, 250	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ))
316		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
317		ovolge0 25380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
318	248, 317	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
319	316, 318	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) → (0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
320		xrrege0 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)
321	315, 319, 320	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)
322		difss 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
323		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
324	322, 248, 323	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
325	321, 324	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
326	325	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)
327	313, 326	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
328	5, 50	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
329	328	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
330	329	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
331	330	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℝ)
332		ssdifss 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
333	322, 248	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ
334		unss 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
335	332, 333, 334	sylanblc 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
336		ovolcl 25377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
337	335, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
338	337	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ*)
339	312	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ)
340	339, 325	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
341		ovolge0 25380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
342	335, 341	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
343	342	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → 0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
344	332	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
345	344, 312	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ))
346	345	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ))
347	325, 333	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ))
348		ovolun 25398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℝ) ∧ ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
349	346, 347, 348	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
350		xrrege0 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∧ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
351	338, 340, 343, 349, 350	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
352	351	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ∈ ℝ)
353		ssdif 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠))
354	3, 353	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠)
355		incom 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵))
356		indif2 4232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)
357	355, 356	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)
358		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
359	358	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
360		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑤 ⊆ 𝐵)
361	359, 360	ssdif2d 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))
362	357, 361	eqsstrid 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))
363		unss12 4139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑠) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
364	354, 362, 363	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
365	335	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ)
366		ovolss 25384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∧ ((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
367	364, 365, 366	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
368	332	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝐴 ∖ 𝑠) ⊆ ℝ)
369	326, 333	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℝ))
370	368, 313, 369, 348	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝑠) ∪ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
371	309, 352, 327, 367, 370	letrd 11273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
372	194	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
373	194, 194	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
374	373	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) ∈ ℝ)
375		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑏 = 𝑠 → (𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑠 ∈ dom vol))
376	375, 34	vtoclga 3532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑠 ∈ dom vol)
377		mblvol 25429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ dom vol → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
378	376, 377	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
379	378	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
380		sseqin2 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑠) = 𝑠)
381	380	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑠) = 𝑠)
382	381	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → 𝑠 = (𝐴 ∩ 𝑠))
383	382	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐴 → (vol*‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
384	383	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → (vol*‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
385	379, 384	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)))
386	385	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))))
387	386	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))))
388	376	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → 𝑠 ∈ dom vol)
389		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
390		mblsplit 25431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))))
391	390	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
392	391	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
393	388, 389, 392	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
394	393	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴))
395		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
396	395	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
397		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑠) ⊆ 𝐴
398		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑠) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℝ)
399	397, 398	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℝ)
400	399	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℂ)
401	400	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) ∈ ℂ)
402	312	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℂ)
403	402	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ∈ ℂ)
404	396, 401, 403	subaddd 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) ↔ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠))) = (vol*‘𝐴)))
405	394, 404	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol*‘(𝐴 ∩ 𝑠))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)))
406	387, 405	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)))
407	379	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) = (vol*‘𝑠))
408		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
409		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
410		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
411	410	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
412	408, 409, 411	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝑠) ∈ ℝ)
413	407, 412	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑠) ∈ ℝ)
414		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠))
415	395, 372, 413, 414	ltsub23d 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐴) − (vol‘𝑠)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
416	406, 415	eqbrtrrd 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
417	321	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℂ)
418	417	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℂ)
419	240	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
420	419	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℂ)
421		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑤 ∈ dom vol))
422	421, 34	vtoclga 3532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → 𝑤 ∈ dom vol)
423		mblvol 25429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ dom vol → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
424	422, 423	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
425	424	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
426	425	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘𝑤))
427		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → 𝑤 ⊆ 𝐵)
428		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
429		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
430	429	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
431	427, 428, 430	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘𝑤) ∈ ℝ)
432	426, 431	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) ∈ ℝ)
433	432	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) ∈ ℂ)
434	418, 420, 433	npncand 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) = ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol‘𝑤)))
435		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
436	427, 435	sylan9ssr 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑤 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
437		sseqin2 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) = 𝑤)
438	436, 437	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) = 𝑤)
439	438	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) = (vol*‘𝑤))
440	426, 439	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘𝑤) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)))
441	440	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol‘𝑤)) = ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))))
442	422	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → 𝑤 ∈ dom vol)
443	321, 248	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ))
444		mblsplit 25431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) = ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))))
445	444	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
446	445	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑤 ∈ dom vol ∧ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
447	442, 443, 446	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
448	447	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
449		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)
450		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤) ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
451	449, 248, 450	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ ℝ → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
452	321, 451	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℝ)
453	452	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) ∈ ℂ)
454	325	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ∈ ℂ)
455	417, 453, 454	subaddd 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ↔ ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
456	455	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) ↔ ((vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) = (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
457	448, 456	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∩ 𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
458	434, 441, 457	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) = (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)))
459	240	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
460	321, 459	resubcld 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
461	460	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
462	419, 432	resubcld 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤)) ∈ ℝ)
463		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
464	194	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℝ)
465	321, 459, 464	lesubadd2d 11719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ↔ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
466	463, 465	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
467	466	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) ≤ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
468		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))
469	419, 372, 432, 468	ltsub23d 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤)) < (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
470	461, 462, 372, 372, 467, 469	leltaddd 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) − (vol*‘𝐵)) + ((vol*‘𝐵) − (vol‘𝑤))) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
471	458, 470	eqbrtrrd 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤)) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
472	313, 326, 372, 374, 416, 471	lt2addd 11743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) < ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
473		df-3 12192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 = (2 + 1)
474		2cn 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
475		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℂ
476	474, 475	addcomi 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
477	473, 476	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 = (1 + 2)
478	477	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
479	62	rpcnd 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ)
480		adddir 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
481	475, 474, 480	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) ∈ ℂ → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
482	479, 481	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
483	479	mullidd 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))
484	479	2timesd 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))
485	483, 484	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) + (2 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
486	482, 485	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((1 + 2) · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
487	478, 486	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))))
488	329	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ)
489		3cn 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ∈ ℂ
490		3ne0 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
491		divcan2 11787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
492	489, 490, 491	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) ∈ ℂ → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
493	488, 492	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (3 · (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
494	487, 493	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
495	494	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
496	495	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + ((((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
497	472, 496	breqtrd 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝑠)) + (vol*‘(∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∖ 𝑤))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
498	309, 327, 331, 371, 497	lelttrd 11274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝑠) ∪ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
499	301, 498	eqbrtrid 5127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢))
500	296, 297, 299, 499	ltsub13d 11726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 < ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
501	283	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
502		sseqin2 4174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
503	501, 502	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
504	503	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
505		opnmbl 25501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ (topGen‘ran (,)) → ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol)
506	273, 505	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol
507		difmbl 25442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
508	376, 506, 507	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
509	508	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
510	509	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol)
511	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
512	511, 5	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ))
513	512	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ))
514		mblsplit 25431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
515	514	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
516	515	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
517	510, 513, 516	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
518	297	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
519	296	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℂ)
520		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵)
521	520, 3	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴
522		ovolsscl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
523	521, 522	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
524	523	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℝ)
525	524	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ∈ ℂ)
526	518, 519, 525	subadd2d 11494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) ↔ ((vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) + (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
527	517, 526	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))) = (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))))
528		mblvol 25429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ∈ dom vol → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
529	507, 528	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∈ dom vol) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
530	376, 506, 529	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
531	530	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
532	531	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol*‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
533	504, 527, 532	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − (vol*‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∖ (𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
534	500, 533	breqtrrd 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))
535		fvex 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) ∈ V
536		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑣 = (vol‘𝑏) ↔ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)))
537	536	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
538	537	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏))))
539		breq2 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → (𝑢 < 𝑣 ↔ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))))
540	538, 539	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) → ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣) ↔ (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))))))
541	535, 540	spcev 3561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))) = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < (vol‘(𝑠 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))) → ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
542	291, 534, 541	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
543	148	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ (𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
544	543	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏))))
545	544	rexab 3655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣 ↔ ∃𝑣(∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑣 = (vol‘𝑏)) ∧ 𝑢 < 𝑣))
546	542, 545	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) ∧ ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤)))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣)
547	546	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) ∧ (𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))) → (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
548	547	rexlimdvva 3186	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) ∧ (𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ (vol*‘∪ ran ((,) ∘ 𝑓)) ≤ ((vol*‘𝐵) + (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)))) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
549	260, 548	exlimddv 1935	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (∃𝑠 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))∃𝑤 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ((vol*‘𝐴) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑠)) ∧ (𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ((vol*‘𝐵) − (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) − 𝑢) / 3)) < (vol‘𝑤))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
550	221, 549	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))
551	550	exp31 419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))))
552	551	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < )) → ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣))))
553	552	3imp1 1348	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}𝑢 < 𝑣)
554	2, 6, 48, 553	eqsupd 9347	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ ((vol*‘𝐴) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) ∧ (vol*‘𝐵) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ))) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))(𝑏 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑦 = (vol‘𝑏))}, ℝ, < ) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   Or wor 5526   × cxp 5617  dom cdm 5619  ran crn 5620   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  supcsup 9330  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  ℝ⁺crp 12893  (,)cioo 13248  [,)cico 13250  seqcseq 13908  abscabs 15141  topGenctg 17341  Topctop 22778  TopBasesctb 22830  Clsdccld 22901  vol*covol 25361  volcvol 25362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cld 22904  df-cmp 23272  df-ovol 25363  df-vol 25364

This theorem is referenced by:  ismblfin  37645