Theorem xpsnprg 7142

Description: The Cartesian product of a singleton and an unordered pair. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpsnprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4594	. . 3 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	xpeq2i 5690	. 2 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶}))
3		xpsng 7139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	3	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
5		xpsng 7139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
6	5	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
7	4, 6	uneq12d 4123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
8		xpundi 5732	. . 3 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶})) = (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶}))
9		df-pr 4594	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶})) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩})
11	2, 10	eqtrid 2812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904  {csn 4591  {cpr 4593  ⟨cop 4597   × cxp 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547

This theorem is used by:  degenmgm2opdm  19038