Theorem xpsnprg 7146

Description: The Cartesian product of a singleton and an unordered pair. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpsnprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4587	. . 3 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	xpeq2i 5677	. 2 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶}))
3		xpsng 7143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	3	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
5		xpsng 7143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
6	5	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
7	4, 6	uneq12d 4167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
8		xpundi 5719	. . 3 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶})) = (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶}))
9		df-pr 4587	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶})) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩})
11	2, 10	eqtrid 2807	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∪ cun 4148  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4834   × cxp 5648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548

This theorem is used by:  degenmgm2opdm  19145