Theorem xpsntpg 7176

Description: The Cartesian product of a singleton and an unordered triple. (Contributed by AV, 18-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
xpsntpg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩})

Proof of Theorem xpsntpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsng 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
3		xpsng 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5	2, 4	uneq12d 4171	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
6		xpsng 7172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → ({𝐴} × {𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐷⟩})
7	6	ad2ant2rl 762	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐷⟩})
8	5, 7	uneq12d 4171	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷})) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩}))
9		df-tp 4593	. . . 4 ⊢ {𝐵, 𝐶, 𝐷} = ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})
10	9	xpeq2i 5685	. . 3 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = ({𝐴} × ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
11		xpundi 5727	. . . 4 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = (({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
12		df-pr 4591	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
13	12	xpeq2i 5685	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶}))
14		xpundi 5727	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶})) = (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶}))
15	13, 14	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶}))
16	15	uneq1i 4166	. . . 4 ⊢ (({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) ∪ ({𝐴} × {𝐷})) = ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
17	11, 16	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
18	10, 17	eqtri 2786	. 2 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
19		df-tp 4593	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩})
20		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
21	20	uneq1i 4166	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩})
22	19, 21	eqtri 2786	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩} = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩})
23	8, 18, 22	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4840   × cxp 5656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573

This theorem is used by:  degenmgmopdm  19184