Theorem xpsntpg 7137

Description: The Cartesian product of a singleton and an unordered triple. (Contributed by AV, 18-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
xpsntpg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩})

Proof of Theorem xpsntpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsng 7133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
3		xpsng 7133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5	2, 4	uneq12d 4116	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
6		xpsng 7133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → ({𝐴} × {𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐷⟩})
7	6	ad2ant2rl 762	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐷⟩})
8	5, 7	uneq12d 4116	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷})) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩}))
9		df-tp 4589	. . . 4 ⊢ {𝐵, 𝐶, 𝐷} = ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})
10	9	xpeq2i 5682	. . 3 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = ({𝐴} × ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}))
11		xpundi 5724	. . . 4 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = (({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
12		df-pr 4587	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
13	12	xpeq2i 5682	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶}))
14		xpundi 5724	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵} ∪ {𝐶})) = (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶}))
15	13, 14	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) = (({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶}))
16	15	uneq1i 4111	. . . 4 ⊢ (({𝐴} × {𝐵, 𝐶}) ∪ ({𝐴} × {𝐷})) = ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
17	11, 16	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ({𝐴} × ({𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
18	10, 17	eqtri 2783	. 2 ⊢ ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = ((({𝐴} × {𝐵}) ∪ ({𝐴} × {𝐶})) ∪ ({𝐴} × {𝐷}))
19		df-tp 4589	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩})
20		df-pr 4587	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
21	20	uneq1i 4111	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩})
22	19, 21	eqtri 2783	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩} = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐷⟩})
23	8, 18, 22	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ({𝐴} × {𝐵, 𝐶, 𝐷}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590   × cxp 5653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540

This theorem is used by:  degenmgmopdm  19047