MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpprsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpprsng 7012
Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpprsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpprsng
StepHypRef Expression
1 df-pr 4564 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
21xpeq1i 5615 . 2 ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶})
3 xpsng 7011 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
433adant2 1130 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 xpsng 7011 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
653adant1 1129 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
74, 6uneq12d 4098 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
8 xpundir 5656 . . 3 (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶}))
9 df-pr 4564 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})
107, 8, 93eqtr4g 2803 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
112, 10eqtrid 2790 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cun 3885  {csn 4561  {cpr 4563  cop 4567   × cxp 5587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440
This theorem is referenced by:  linds2eq  31575  zlmodzxz0  45692  ehl2eudisval0  46071
  Copyright terms: Public domain W3C validator