Theorem xpprsng 7079

Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
xpprsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpprsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4578	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	xpeq1i 5645	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶})
3		xpsng 7078	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		xpsng 7078	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
6	5	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
7	4, 6	uneq12d 4118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
8		xpundir 5689	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶}))
9		df-pr 4578	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
11	2, 10	eqtrid 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896  {csn 4575  {cpr 4577  ⟨cop 4581   × cxp 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493

This theorem is referenced by:  linds2eq  33353  zlmodzxz0  48481  ehl2eudisval0  48851