Theorem xpprsng 6879

Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
xpprsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpprsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4528	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	xpeq1i 5545	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶})
3		xpsng 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		xpsng 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
6	5	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
7	4, 6	uneq12d 4091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
8		xpundir 5585	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶}))
9		df-pr 4528	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
11	2, 10	syl5eq 2845	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   × cxp 5517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331

This theorem is referenced by:  linds2eq  30995  zlmodzxz0  44758  ehl2eudisval0  45139