MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpprsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpprsng 6895
Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpprsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpprsng
StepHypRef Expression
1 df-pr 4562 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
21xpeq1i 5574 . 2 ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶})
3 xpsng 6894 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
433adant2 1126 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 xpsng 6894 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
653adant1 1125 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
74, 6uneq12d 4138 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
8 xpundir 5614 . . 3 (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶}))
9 df-pr 4562 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})
107, 8, 93eqtr4g 2879 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
112, 10syl5eq 2866 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  cun 3932  {csn 4559  {cpr 4561  cop 4565   × cxp 5546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355
This theorem is referenced by:  linds2eq  30934  zlmodzxz0  44394  ehl2eudisval0  44702
  Copyright terms: Public domain W3C validator