Theorem xpprsng 7138

Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
xpprsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpprsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4593	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	xpeq1i 5689	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶})
3		xpsng 7137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		xpsng 7137	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
6	5	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
7	4, 6	uneq12d 4124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
8		xpundir 5733	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶}))
9		df-pr 4593	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
11	2, 10	eqtrid 2810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3904  {csn 4590  {cpr 4592  ⟨cop 4596   × cxp 5661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545

This theorem is referenced by:  linds2eq  33675  zlmodzxz0  49119  ehl2eudisval0  49488