Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgcontlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgcontlem1 25810
 Description: Lemma for % ttgcont . (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
ttgelitv.x (𝜑𝑋𝑃)
ttgelitv.y (𝜑𝑌𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgitvval.p + = (+g𝐻)
ttgcontlem1.h (𝜑𝐻 ∈ ℂVec)
ttgcontlem1.a (𝜑𝐴𝑃)
ttgcontlem1.n (𝜑𝑁𝑃)
ttgcontlem1.o (𝜑𝑀 ≠ 0)
ttgcontlem1.p (𝜑𝐾 ≠ 0)
ttgcontlem1.q (𝜑𝐾 ≠ 1)
ttgcontlem1.r (𝜑𝐿𝑀)
ttgcontlem1.s (𝜑𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾))
ttgcontlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
ttgcontlem1.y (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝐾 · (𝑌 𝐴)))
ttgcontlem1.x (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑀 · (𝑁 𝐴)))
ttgcontlem1.b (𝜑𝐵 = (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))))
Assertion
Ref Expression
ttgcontlem1 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem ttgcontlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 12357 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℝ
2 ttgcontlem1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0[,]1))
31, 2sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4 ttgcontlem1.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (0[,]1))
51, 4sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
63, 5remulcld 10108 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ∈ ℝ)
7 0re 10078 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
8 iccssre 12293 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0[,]𝐿) ⊆ ℝ)
97, 3, 8sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ ℝ)
10 ttgcontlem1.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
119, 10sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1211, 5remulcld 10108 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℝ)
136, 12resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ)
14 1red 10093 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1511, 14remulcld 10108 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 1) ∈ ℝ)
1615, 12resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ)
1711recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
18 1cnd 10094 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
195recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2017, 18, 19subdid 10524 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
2118, 19subcld 10430 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
22 ttgcontlem1.o . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≠ 0)
23 ttgcontlem1.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ 1)
2423necomd 2878 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ 𝐾)
2518, 19, 24subne0d 10439 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐾) ≠ 0)
2617, 21, 22, 25mulne0d 10717 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) ≠ 0)
2720, 26eqnetrrd 2891 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ≠ 0)
2813, 16, 27redivcld 10891 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ ℝ)
29 0xr 10124 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
313rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
32 iccgelb 12268 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) → 0 ≤ 𝑀)
3330, 31, 10, 32syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
3411, 33, 22ne0gt0d 10212 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
3511, 34elrpd 11907 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
3614rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
37 iccleub 12267 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝐾 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 ≤ 1)
3830, 36, 4, 37syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ 1)
395, 14ltlend 10220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ (𝐾 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝐾)))
4038, 24, 39mpbir2and 977 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 < 1)
41 difrp 11906 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ (1 − 𝐾) ∈ ℝ+))
425, 14, 41syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ (1 − 𝐾) ∈ ℝ+))
4340, 42mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ+)
4435, 43rpmulcld 11926 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) ∈ ℝ+)
4520, 44eqeltrrd 2731 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ+)
463, 11resubcld 10496 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
47 iccleub 12267 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) → 𝑀𝐿)
4830, 31, 10, 47syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐿)
493, 11subge0d 10655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
5048, 49mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐿𝑀))
51 iccgelb 12268 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝐾 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝐾)
5230, 36, 4, 51syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
5346, 5, 50, 52mulge0d 10642 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐿𝑀) · 𝐾))
543recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
5554, 17, 19subdird 10525 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · 𝐾) = ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)))
5653, 55breqtrd 4711 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)))
5713, 45, 56divge0d 11950 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
58 ttgcontlem1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾))
59 ttgcontlem1.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ≠ 0)
605, 52, 59ne0gt0d 10212 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐾)
615, 60elrpd 11907 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
623, 11, 61lemuldivd 11959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) ≤ 𝑀𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾)))
6358, 62mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ≤ 𝑀)
6417mulid1d 10095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
6563, 64breqtrrd 4713 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ≤ (𝑀 · 1))
666, 15, 12, 65lesub1dd 10681 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
6717, 18mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 1) ∈ ℂ)
6817, 19mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℂ)
6967, 68subcld 10430 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℂ)
7069mulid1d 10095 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
7166, 70breqtrrd 4713 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1))
7213, 14, 45ledivmuld 11963 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1 ↔ ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1)))
7371, 72mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1)
74 1re 10077 . . . . 5 1 ∈ ℝ
757, 74elicc2i 12277 . . . 4 ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1) ↔ ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∧ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1))
7628, 57, 73, 75syl3anbrc 1265 . . 3 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1))
77 ttgcontlem1.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ℂVec)
7877cvsclm 22972 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
79 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
8079, 2sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑅)
81 0elunit 12328 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
82 iccss2 12282 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐿 ∈ (0[,]1)) → (0[,]𝐿) ⊆ (0[,]1))
8381, 2, 82sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ (0[,]1))
8483, 79sstrd 3646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ 𝑅)
8584, 10sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑅)
86 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
87 ttgbtwnid.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
8886, 87clmsubcl 22932 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 𝐿𝑅𝑀𝑅) → (𝐿𝑀) ∈ 𝑅)
8978, 80, 85, 88syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝑀) ∈ 𝑅)
9086, 87cvsdivcl 22979 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℂVec ∧ ((𝐿𝑀) ∈ 𝑅𝑀𝑅𝑀 ≠ 0)) → ((𝐿𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
9177, 89, 85, 22, 90syl13anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
9279, 4sseldd 3637 . . . . . 6 (𝜑𝐾𝑅)
93 1elunit 12329 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
9493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
9579, 94sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ 𝑅)
9686, 87clmsubcl 22932 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ 𝑅𝐾𝑅) → (1 − 𝐾) ∈ 𝑅)
9778, 95, 92, 96syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ 𝑅)
9886, 87cvsdivcl 22979 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℂVec ∧ (𝐾𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ≠ 0)) → (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅)
9977, 92, 97, 25, 98syl13anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅)
100 clmgrp 22914 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ Grp)
10178, 100syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
102 ttgelitv.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
103 ttgelitv.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
104 ttgitvval.b . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐻)
105 ttgitvval.m . . . . . . 7 = (-g𝐻)
106104, 105grpsubcl 17542 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑃𝑋𝑃) → (𝑌 𝑋) ∈ 𝑃)
107101, 102, 103, 106syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝑋) ∈ 𝑃)
108 ttgitvval.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐻)
109104, 86, 108, 87clmvsass 22935 . . . . 5 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (((𝐿𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅 ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑃)) → ((((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 𝑋)) = (((𝐿𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋))))
11078, 91, 99, 107, 109syl13anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 𝑋)) = (((𝐿𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋))))
11146recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
112111, 17, 19, 21, 22, 25divmuldivd 10880 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) = (((𝐿𝑀) · 𝐾) / (𝑀 · (1 − 𝐾))))
11355, 20oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿𝑀) · 𝐾) / (𝑀 · (1 − 𝐾))) = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
114112, 113eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
115114oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 𝑋)) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋)))
116 ttgcontlem1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
117104, 105grpsubcl 17542 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑃𝐴𝑃) → (𝑋 𝐴) ∈ 𝑃)
118101, 103, 116, 117syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝐴) ∈ 𝑃)
119 ttgcontlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝐾 · (𝑌 𝐴)))
120119oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑋 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
12119, 21mulcomd 10099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 · (1 − 𝐾)) = ((1 − 𝐾) · 𝐾))
122121oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝐴)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 𝐴)))
123104, 105grpsubcl 17542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑃𝐴𝑃) → (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)
124101, 102, 116, 123syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)
125104, 86, 108, 87clmvsass 22935 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝐾𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)) → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝐴)) = (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))))
12678, 92, 97, 124, 125syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝐴)) = (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))))
127104, 86, 108, 87clmvsass 22935 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ ((1 − 𝐾) ∈ 𝑅𝐾𝑅 ∧ (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
12878, 97, 92, 124, 127syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
129122, 126, 1283eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
130 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (-g‘(Scalar‘𝐻)) = (-g‘(Scalar‘𝐻))
131 clmlmod 22913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
13278, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ LMod)
133104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 95, 92, 124lmodsubdir 18969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1 · (𝑌 𝐴)) (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
13486, 87clmsub 22926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ 𝑅𝐾𝑅) → (1 − 𝐾) = (1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾))
13578, 95, 92, 134syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 − 𝐾) = (1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾))
136135oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾) · (𝑌 𝐴)))
137104, 108clmvs1 22939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃) → (1 · (𝑌 𝐴)) = (𝑌 𝐴))
13878, 124, 137syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝑌 𝐴)) = (𝑌 𝐴))
139138eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 𝐴) = (1 · (𝑌 𝐴)))
140139, 119oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)) = ((1 · (𝑌 𝐴)) (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
141133, 136, 1403eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)))
142104, 105grpnnncan2 17559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑌𝑃𝑋𝑃𝐴𝑃)) → ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝑌 𝑋))
143101, 102, 103, 116, 142syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝑌 𝑋))
144141, 143eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = (𝑌 𝑋))
145144oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))) = (𝐾 · (𝑌 𝑋)))
146120, 129, 1453eqtr2rd 2692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · (𝑌 𝑋)) = ((1 − 𝐾) · (𝑋 𝐴)))
147104, 108, 86, 87, 77, 92, 97, 107, 118, 59, 146cvsmuleqdivd 22980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 𝑋) = (((1 − 𝐾) / 𝐾) · (𝑋 𝐴)))
148104, 108, 86, 87, 77, 97, 92, 107, 118, 25, 59, 147cvsdiveqd 22981 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋)) = (𝑋 𝐴))
149148, 118eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋)) ∈ 𝑃)
150 ttgcontlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))))
151 ttgcontlem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑃)
152104, 105grpsubcl 17542 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑁𝑃𝐴𝑃) → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)
153101, 151, 116, 152syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)
154104, 86, 108, 87lmodvscl 18928 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝐿𝑅 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃) → (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃)
155132, 80, 153, 154syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃)
156 ttgitvval.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝐻)
157104, 156grpcl 17477 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑃 ∧ (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃) → (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) ∈ 𝑃)
158101, 116, 155, 157syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) ∈ 𝑃)
159150, 158eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
160104, 105grpsubcl 17542 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑃𝑋𝑃) → (𝐵 𝑋) ∈ 𝑃)
161101, 159, 103, 160syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 𝑋) ∈ 𝑃)
162 ttgcontlem1.r . . . . . 6 (𝜑𝐿𝑀)
16354, 17, 162subne0d 10439 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝑀) ≠ 0)
164 ttgcontlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑀 · (𝑁 𝐴)))
165164oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑋 𝐴)) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
16617, 111mulcomd 10099 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · (𝐿𝑀)) = ((𝐿𝑀) · 𝑀))
167166oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · (𝐿𝑀)) · (𝑁 𝐴)) = (((𝐿𝑀) · 𝑀) · (𝑁 𝐴)))
168104, 86, 108, 87clmvsass 22935 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝑀𝑅 ∧ (𝐿𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)) → ((𝑀 · (𝐿𝑀)) · (𝑁 𝐴)) = (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))))
16978, 85, 89, 153, 168syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · (𝐿𝑀)) · (𝑁 𝐴)) = (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))))
170104, 86, 108, 87clmvsass 22935 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ ((𝐿𝑀) ∈ 𝑅𝑀𝑅 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)) → (((𝐿𝑀) · 𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
17178, 89, 85, 153, 170syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐿𝑀) · 𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
172167, 169, 1713eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
173104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 80, 85, 153lmodsubdir 18969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿 · (𝑁 𝐴)) (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
17486, 87clmsub 22926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 𝐿𝑅𝑀𝑅) → (𝐿𝑀) = (𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀))
17578, 80, 85, 174syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿𝑀) = (𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀))
176175oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀) · (𝑁 𝐴)))
177150oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) 𝐴))
178 lmodabl 18958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ LMod → 𝐻 ∈ Abel)
179132, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
180104, 156, 105ablpncan2 18267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑃 ∧ (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃) → ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 𝐴)))
181179, 116, 155, 180syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 𝐴)))
182177, 181eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 𝐴)))
183182, 164oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)) = ((𝐿 · (𝑁 𝐴)) (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
184173, 176, 1833eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)))
185104, 105grpnnncan2 17559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐵𝑃𝑋𝑃𝐴𝑃)) → ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝐵 𝑋))
186101, 159, 103, 116, 185syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝐵 𝑋))
187184, 186eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴)) = (𝐵 𝑋))
188187oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))) = (𝑀 · (𝐵 𝑋)))
189165, 172, 1883eqtr2rd 2692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · (𝐵 𝑋)) = ((𝐿𝑀) · (𝑋 𝐴)))
190104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 161, 118, 22, 189cvsmuleqdivd 22980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 𝑋) = (((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝑋 𝐴)))
191104, 108, 86, 87, 77, 89, 85, 161, 118, 163, 22, 190cvsdiveqd 22981 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 / (𝐿𝑀)) · (𝐵 𝑋)) = (𝑋 𝐴))
192148, 191eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋)) = ((𝑀 / (𝐿𝑀)) · (𝐵 𝑋)))
193104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 149, 161, 22, 163, 192cvsdiveqd 22981 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋))) = (𝐵 𝑋))
194110, 115, 1933eqtr3rd 2694 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋)))
195 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑘 = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) → (𝑘 · (𝑌 𝑋)) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋)))
196195eqeq2d 2661 . . . 4 (𝑘 = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) → ((𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)) ↔ (𝐵 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋))))
197196rspcev 3340 . . 3 (((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐵 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋))) → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))
19876, 194, 197syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))
199 ttgval.n . . 3 𝐺 = (toTG‘𝐻)
200 ttgitvval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
201199, 200, 104, 105, 108, 103, 102, 77, 159ttgelitv 25808 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
202198, 201mpbird 247 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℝ+crp 11870  [,]cicc 12216  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  ℂModcclm 22908  ℂVecccvs 22969  Itvcitv 25380  toTGcttg 25798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-icc 12220  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lvec 19151  df-cnfld 19795  df-clm 22909  df-cvs 22970  df-itv 25382  df-lng 25383  df-ttg 25799 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator