Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-ii 22727 |
. . 3
⊢ II =
(MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1)))) |
2 | | cnmet 22622 |
. . . . 5
⊢ (abs
∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) |
3 | | unitssre 12357 |
. . . . . 6
⊢ (0[,]1)
⊆ ℝ |
4 | | ax-resscn 10031 |
. . . . . 6
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
5 | 3, 4 | sstri 3645 |
. . . . 5
⊢ (0[,]1)
⊆ ℂ |
6 | | metres2 22215 |
. . . . 5
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ)
→ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈
(Met‘(0[,]1))) |
7 | 2, 5, 6 | mp2an 708 |
. . . 4
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈
(Met‘(0[,]1)) |
8 | 7 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1))) |
9 | | iicmp 22736 |
. . . 4
⊢ II ∈
Comp |
10 | 9 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → II ∈ Comp) |
11 | | simpl 472 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → 𝑈 ⊆ II) |
12 | | simpr 476 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → (0[,]1) = ∪ 𝑈) |
13 | 1, 8, 10, 11, 12 | lebnum 22810 |
. 2
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢) |
14 | | rpreccl 11895 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ (1 / 𝑟) ∈
ℝ+) |
15 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ+) |
16 | 15 | rpred 11910 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ) |
17 | 15 | rpge0d 11914 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1
/ 𝑟)) |
18 | | flge0nn0 12661 |
. . . . . 6
⊢ (((1 /
𝑟) ∈ ℝ ∧ 0
≤ (1 / 𝑟)) →
(⌊‘(1 / 𝑟))
∈ ℕ0) |
19 | 16, 17, 18 | syl2anc 694 |
. . . . 5
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(⌊‘(1 / 𝑟))
∈ ℕ0) |
20 | | nn0p1nn 11370 |
. . . . 5
⊢
((⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0 →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
22 | | elfznn 12408 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ∈
ℕ) |
23 | 22 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℕ) |
24 | 23 | nnrpd 11908 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℝ+) |
25 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
26 | 25 | nnrpd 11908 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ+) |
27 | 24, 26 | rpdivcld 11927 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ+) |
28 | 27 | rpred 11910 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ) |
29 | 27 | rpge0d 11914 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
(𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))) |
30 | | elfzle2 12383 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
31 | 30 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
32 | 25 | nnred 11073 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ) |
33 | 32 | recnd 10106 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℂ) |
34 | 33 | mulid1d 10095 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) · 1) = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
35 | 31, 34 | breqtrrd 4713 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1) ·
1)) |
36 | 23 | nnred 11073 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℝ) |
37 | | 1re 10077 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℝ |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 1
∈ ℝ) |
39 | 25 | nngt0d 11102 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) |
40 | | ledivmul 10937 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) → ((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) · 1))) |
41 | 36, 38, 32, 39, 40 | syl112anc 1370 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1) ·
1))) |
42 | 35, 41 | mpbird 247 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤
1) |
43 | | 0re 10078 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ |
44 | 43, 37 | elicc2i 12277 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔
((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1)) ∈ ℝ
∧ 0 ≤ (𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ∧ (𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ≤ 1)) |
45 | 28, 29, 42, 44 | syl3anbrc 1265 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
(0[,]1)) |
46 | | oveq1 6697 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟)) |
47 | 46 | sseq1d 3665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
48 | 47 | rexbidv 3081 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
49 | 48 | rspcv 3336 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
50 | 45, 49 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
51 | | simplr 807 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ+) |
52 | 51 | rpred 11910 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ) |
53 | 28, 52 | resubcld 10496 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈
ℝ) |
54 | 53 | rexrd 10127 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈
ℝ*) |
55 | 28, 52 | readdcld 10107 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ) |
56 | 55 | rexrd 10127 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈
ℝ*) |
57 | | nnm1nn0 11372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
58 | 23, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
59 | 58 | nn0red 11390 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℝ) |
60 | 59, 25 | nndivred 11107 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ) |
61 | 36 | recnd 10106 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℂ) |
62 | 59 | recnd 10106 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℂ) |
63 | 25 | nnne0d 11103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ≠ 0) |
64 | 61, 62, 33, 63 | divsubdird 10878 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))) |
65 | | ax-1cn 10032 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℂ |
66 | | nncan 10348 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑘 −
(𝑘 − 1)) =
1) |
67 | 61, 65, 66 | sylancl 695 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1) |
68 | 67 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
69 | 64, 68 | eqtr3d 2687 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) = (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
70 | 51 | rprecred 11921 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ) |
71 | | flltp1 12641 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1 /
𝑟) ∈ ℝ → (1
/ 𝑟) <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) |
72 | 70, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
𝑟) < ((⌊‘(1
/ 𝑟)) +
1)) |
73 | | rpgt0 11882 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 0 < 𝑟) |
74 | 73 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 <
𝑟) |
75 | | ltdiv23 10952 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝑟
∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0
< ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟)) |
76 | 38, 52, 74, 32, 39, 75 | syl122anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((1 /
𝑟) < ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1) ↔ (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟)) |
77 | 72, 76 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟) |
78 | 69, 77 | eqbrtrd 4707 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) < 𝑟) |
79 | 28, 60, 52, 78 | ltsub23d 10670 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
80 | 28, 51 | ltaddrpd 11943 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) |
81 | | iccssioo 12280 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟) ∈
ℝ* ∧ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
82 | 54, 56, 79, 80, 81 | syl22anc 1367 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
83 | | 0red 10079 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0
∈ ℝ) |
84 | 58 | nn0ge0d 11392 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
(𝑘 −
1)) |
85 | | divge0 10930 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧
0 ≤ (𝑘 − 1)) ∧
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
86 | 59, 84, 32, 39, 85 | syl22anc 1367 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
87 | | iccss 12279 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (0[,]1)) |
88 | 83, 38, 86, 42, 87 | syl22anc 1367 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (0[,]1)) |
89 | 82, 88 | ssind 3870 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ ((((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
90 | | eqid 2651 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) |
91 | 90 | rexmet 22641 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) |
92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ)) |
93 | | sseqin2 3850 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((0[,]1)
⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)) |
94 | 3, 93 | mpbi 220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℝ
∩ (0[,]1)) = (0[,]1) |
95 | 45, 94 | syl6eleqr 2741 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩
(0[,]1))) |
96 | | rpxr 11878 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ*) |
97 | 96 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ*) |
98 | | xpss12 5158 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((0[,]1)
⊆ ℝ ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) × (0[,]1))
⊆ (ℝ × ℝ)) |
99 | 3, 3, 98 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0[,]1)
× (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) |
100 | | resabs1 5462 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((0[,]1)
× (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
= ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))) |
101 | 99, 100 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) |
102 | 101 | eqcomi 2660 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) |
103 | 102 | blres 22283 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧
𝑟 ∈
ℝ*) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1))) |
104 | 92, 95, 97, 103 | syl3anc 1366 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1))) |
105 | 90 | bl2ioo 22642 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧
𝑟 ∈ ℝ) →
((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
106 | 28, 52, 105 | syl2anc 694 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
107 | 106 | ineq1d 3846 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
108 | 104, 107 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
109 | 89, 108 | sseqtr4d 3675 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ ((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟)) |
110 | | sstr2 3643 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
111 | 109, 110 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
112 | 111 | reximdv 3045 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
113 | 50, 112 | syld 47 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
114 | 113 | ralrimdva 2998 |
. . . 4
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
115 | | oveq2 6698 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (1...𝑛) = (1...((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))) |
116 | | oveq2 6698 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((𝑘 − 1) / 𝑛) = ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
117 | | oveq2 6698 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (𝑘 / 𝑛) = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
118 | 116, 117 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) = (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))) |
119 | 118 | sseq1d 3665 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
120 | 119 | rexbidv 3081 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
121 | 115, 120 | raleqbidv 3182 |
. . . . 5
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
122 | 121 | rspcev 3340 |
. . . 4
⊢
((((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢) |
123 | 21, 114, 122 | syl6an 567 |
. . 3
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)) |
124 | 123 | rexlimdva 3060 |
. 2
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)) |
125 | 13, 124 | mpd 15 |
1
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢) |