Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodgam Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodgam 30687
Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
iprodgam.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Assertion
Ref Expression
iprodgam (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem iprodgam
Dummy variables 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodgam.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2 eflgam 24488 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
4 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
5 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 / 𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
65oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 / 𝑘) + 1) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
76fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
84, 7oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
98sumeq2sdv 14228 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
10 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
119, 10oveq12d 6545 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
12 df-lgam 24462 . . . . . 6 log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)))
13 ovex 6555 . . . . . 6 𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6176 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
151, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
1615fveq2d 6092 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))))
17 nnuz 11555 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 11241 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
20 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘𝑗 = 𝑘)
2119, 20oveq12d 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 𝑗) = ((𝑘 + 1) / 𝑘))
2221fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗)) = (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))
2322oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
24 oveq2 6535 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑗) = (𝐴 / 𝑘))
2524oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 / 𝑗) + 1) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
2625fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
2723, 26oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
28 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))
29 ovex 6555 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
3130adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
321eldifad 3551 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3332adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 peano2nn 10879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3534adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3635nncnd 10883 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
37 nncn 10875 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
3837adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
39 nnne0 10900 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
4039adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
4136, 38, 40divcld 10650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
4235nnne0d 10912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
4336, 38, 42, 40divne0d 10666 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ≠ 0)
4441, 43logcld 24038 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) ∈ ℂ)
4533, 44mulcld 9916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ)
4633, 38, 40divcld 10650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
47 1cnd 9912 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4846, 47addcld 9915 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
491adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
50 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
5149, 50dmgmdivn0 24471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0)
5248, 51logcld 24038 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
5345, 52subcld 10243 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5428, 1lgamcvg 24497 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
55 seqex 12620 . . . . . . . 8 seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ V
56 ovex 6555 . . . . . . . 8 ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
5755, 56breldm 5238 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
5854, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
5917, 18, 31, 53, 58isumcl 14280 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
601dmgmn0 24469 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
6132, 60logcld 24038 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
62 efsub 14615 . . . . 5 ((Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
6359, 61, 62syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
6417, 18, 31, 53, 58iprodefisum 30686 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
65 efsub 14615 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
6645, 52, 65syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
6738, 47, 38, 40divdird 10688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)))
6838, 40dividd 10648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑘) = 1)
6968oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑘)))
7067, 69eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = (1 + (1 / 𝑘)))
7170fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
7271oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7372fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
74 1rp 11668 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
7650nnrpd 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
7776rpreccld 11714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
7875, 77rpaddcld 11719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
7978rpcnd 11706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
8078rpne0d 11709 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ≠ 0)
8179, 80, 33cxpefd 24175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
8273, 81eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴))
83 eflog 24044 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
8448, 51, 83syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
8546, 47addcomd 10089 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
8684, 85eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
8782, 86oveq12d 6545 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
8866, 87eqtrd 2643 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
8988prodeq2dv 14438 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
9064, 89eqtr3d 2645 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
91 eflog 24044 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9232, 60, 91syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9390, 92oveq12d 6545 . . . 4 (𝜑 → ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
9463, 93eqtrd 2643 . . 3 (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
9516, 94eqtrd 2643 . 2 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
963, 95eqtr3d 2645 1 (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cdif 3536   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  cz 11210  +crp 11664  seqcseq 12618  cli 14009  Σcsu 14210  cprod 14420  expce 14577  logclog 24022  𝑐ccxp 24023  log Γclgam 24459  Γcgam 24460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-prod 14421  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-tan 14587  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-ulm 23852  df-log 24024  df-cxp 24025  df-lgam 24462  df-gam 24463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator