Theorem fihasheq0 10661

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheq0	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem fihasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 6826	. . 3 |- (/) e. Fin
2		hashen 10651	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
3	1, 2	mpan2 422	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
4		fz10 9941	. . . . 5 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
5	4	fveq2i 5470	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = (♯ ` (/) )
6		0nn0 9099	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		hashfz1 10650	. . . . 5 |- ( 0 e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
9	5, 8	eqtr3i 2180	. . 3 |- (♯ ` (/) ) = 0
10	9	eqeq2i 2168	. 2 |- ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> (♯ ` A ) = 0 )
11		en0 6737	. 2 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
12	3, 10, 11	3bitr3g 221	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   (/)c0 3394   class class class wbr 3965   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   ~~ cen 6680   Fincfn 6682   0cc0 7726   1c1 7727   NN0cn0 9084   ...cfz 9905  ♯chash 10642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-recs 6249  df-frec 6335  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906  df-ihash 10643

This theorem is referenced by:  fihashneq0  10662  hashnncl  10663  hash0  10664  fz1f1o  11265