Theorem fihasheq0 10381

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheq0	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem fihasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 6707	. . 3 |- (/) e. Fin
2		hashen 10371	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
3	1, 2	mpan2 419	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
4		fz10 9667	. . . . 5 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
5	4	fveq2i 5356	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = (♯ ` (/) )
6		0nn0 8844	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		hashfz1 10370	. . . . 5 |- ( 0 e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
9	5, 8	eqtr3i 2122	. . 3 |- (♯ ` (/) ) = 0
10	9	eqeq2i 2110	. 2 |- ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> (♯ ` A ) = 0 )
11		en0 6619	. 2 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
12	3, 10, 11	3bitr3g 221	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1299   e. wcel 1448   (/)c0 3310   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ~~ cen 6562   Fincfn 6564   0cc0 7500   1c1 7501   NN0cn0 8829   ...cfz 9631  ♯chash 10362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-recs 6132  df-frec 6218  df-1o 6243  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-ihash 10363

This theorem is referenced by:  fihashneq0  10382  hashnncl  10383  hash0  10384  fz1f1o  10983