Theorem fihasheq0 11059

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheq0	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem fihasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 7076	. . 3 |- (/) e. Fin
2		hashen 11050	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
4		fz10 10284	. . . . 5 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
5	4	fveq2i 5643	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = (♯ ` (/) )
6		0nn0 9420	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		hashfz1 11049	. . . . 5 |- ( 0 e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
9	5, 8	eqtr3i 2254	. . 3 |- (♯ ` (/) ) = 0
10	9	eqeq2i 2242	. 2 |- ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> (♯ ` A ) = 0 )
11		en0 6972	. 2 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
12	3, 10, 11	3bitr3g 222	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   ~~ cen 6910   Fincfn 6912   0cc0 8035   1c1 8036   NN0cn0 9405   ...cfz 10246  ♯chash 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-recs 6474  df-frec 6560  df-1o 6585  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247  df-ihash 11042

This theorem is referenced by:  fihashneq0  11060  hashnncl  11061  hash0  11062  fihashelne0d  11063  ccat0  11180  ccat1st1st  11225  wrdind  11310  wrd2ind  11311  swrdccat3blem  11327  fz1f1o  11956  vtxd0nedgbfi  16177  umgrclwwlkge2  16280  gfsumval  16740