Theorem fihasheq0 10768

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheq0	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem fihasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 6883	. . 3 |- (/) e. Fin
2		hashen 10759	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
4		fz10 10043	. . . . 5 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
5	4	fveq2i 5518	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = (♯ ` (/) )
6		0nn0 9189	. . . . 5 |- 0 e. NN0
7		hashfz1 10758	. . . . 5 |- ( 0 e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- (♯ ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
9	5, 8	eqtr3i 2200	. . 3 |- (♯ ` (/) ) = 0
10	9	eqeq2i 2188	. 2 |- ( (♯ ` A ) = (♯ ` (/) ) <-> (♯ ` A ) = 0 )
11		en0 6794	. 2 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
12	3, 10, 11	3bitr3g 222	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3422   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   ~~ cen 6737   Fincfn 6739   0cc0 7810   1c1 7811   NN0cn0 9174   ...cfz 10006  ♯chash 10750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007  df-ihash 10751

This theorem is referenced by:  fihashneq0  10769  hashnncl  10770  hash0  10771  fihashelne0d  10772  fz1f1o  11378