Theorem vtxdgfi0e 16101

Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. This is the base case for the induction for calculating the degree of a vertex, for example in a Königsberg graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdg0v.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdg0e.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdgfi0e.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdgfi0e.i	|- ( ph -> I = (/) )
vtxdgfi0e.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxdgfi0e.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfi0e	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = 0 )

Proof of Theorem vtxdgfi0e

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdg0v.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		vtxdg0e.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- dom I = dom I
4		vtxdgfi0e.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I = (/) )
5	4	dmeqd 4931	. . . . 5 |- ( ph -> dom I = dom (/) )
6		dm0 4943	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ph -> dom I = (/) )
8		0fi 7066	. . . 4 |- (/) e. Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2320	. . 3 |- ( ph -> dom I e. Fin )
10		vtxdgfi0e.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Fin )
11		vtxdgfi0e.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
12		vtxdgfi0e.g	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
13	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12	vtxdgfifival 16097	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
14	7	rabeqdv 2794	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } = { x e. (/) | U e. ( I ` x ) } )
15		rab0 3521	. . . . . . 7 |- { x e. (/) | U e. ( I ` x ) } = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } = (/) )
17	16	fveq2d 5639	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) = (♯ ` (/) ) )
18		hash0 11048	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) = 0 )
20	7	rabeqdv 2794	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } = { x e. (/) | ( I ` x ) = { U } } )
21		rab0 3521	. . . . . . 7 |- { x e. (/) | ( I ` x ) = { U } } = (/)
22	20, 21	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } = (/) )
23	22	fveq2d 5639	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) = (♯ ` (/) ) )
24	23, 18	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) = 0 )
25	19, 24	oveq12d 6031	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( 0 + 0 ) )
26		00id 8310	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2278	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) ) = 0 )
28	13, 27	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   (/)c0 3492   {csn 3667   dom cdm 4723   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   0cc0 8022   + caddc 8025  ♯chash 11027  Vtxcvtx 15853  iEdgciedg 15854  UPGraphcupgr 15932  VtxDegcvtxdg 16092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-xadd 9998  df-fz 10234  df-ihash 11028  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-edgf 15846  df-vtx 15855  df-iedg 15856  df-upgren 15934  df-vtxdg 16093

This theorem is referenced by: (None)