Theorem vtxdgfi0e 16054

Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. This is the base case for the induction for calculating the degree of a vertex, for example in a Königsberg graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdg0v.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdg0e.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdgfi0e.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdgfi0e.i	|- ( ph -> I = (/) )
vtxdgfi0e.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxdgfi0e.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfi0e	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = 0 )

Proof of Theorem vtxdgfi0e

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdg0v.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		vtxdg0e.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- dom I = dom I
4		vtxdgfi0e.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I = (/) )
5	4	dmeqd 4925	. . . . 5 |- ( ph -> dom I = dom (/) )
6		dm0 4937	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ph -> dom I = (/) )
8		0fi 7054	. . . 4 |- (/) e. Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2320	. . 3 |- ( ph -> dom I e. Fin )
10		vtxdgfi0e.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Fin )
11		vtxdgfi0e.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
12		vtxdgfi0e.g	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
13	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12	vtxdgfifival 16050	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
14	7	rabeqdv 2793	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } = { x e. (/) | U e. ( I ` x ) } )
15		rab0 3520	. . . . . . 7 |- { x e. (/) | U e. ( I ` x ) } = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } = (/) )
17	16	fveq2d 5633	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) = (♯ ` (/) ) )
18		hash0 11030	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) = 0 )
20	7	rabeqdv 2793	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } = { x e. (/) | ( I ` x ) = { U } } )
21		rab0 3520	. . . . . . 7 |- { x e. (/) | ( I ` x ) = { U } } = (/)
22	20, 21	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } = (/) )
23	22	fveq2d 5633	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) = (♯ ` (/) ) )
24	23, 18	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) = 0 )
25	19, 24	oveq12d 6025	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( 0 + 0 ) )
26		00id 8298	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2278	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. dom I | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. dom I | ( I ` x ) = { U } } ) ) = 0 )
28	13, 27	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   (/)c0 3491   {csn 3666   dom cdm 4719   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   0cc0 8010   + caddc 8013  ♯chash 11009  Vtxcvtx 15828  iEdgciedg 15829  UPGraphcupgr 15906  VtxDegcvtxdg 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-xadd 9981  df-fz 10217  df-ihash 11010  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-upgren 15908  df-vtxdg 16046

This theorem is referenced by: (None)