Theorem 0fi 7188

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fi	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4741	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		nnfi 7174	. 2 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  ωcom 4737  Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  xpfi  7239  ssfirab  7244  fnfi  7250  iunfidisj  7260  fidcenumlemr  7272  fczfsuppd  7297  0fsupp  7298  snopfsuppdc  7299  fzfig  10867  fihasheq0  11232  hash0  11235  hashfibc  11283  hashf1lem2  11286  fczpsrbag  15056  uhgr0enedgfi  16477  vtxdgfi0e  16536