ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hash0 Unicode version

Theorem hash0 10093
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2085 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0fin 6545 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
3 fihasheq0 10090 . . 3  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  ( ( `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 7 . 2  |-  ( ( `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 144 1  |-  ( `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   (/)c0 3275   ` cfv 4977   Fincfn 6402   0cc0 7286  ♯chash 10071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-addcom 7381  ax-addass 7383  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-apti 7396  ax-pre-ltadd 7397
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-recs 6017  df-frec 6103  df-1o 6128  df-er 6237  df-en 6403  df-dom 6404  df-fin 6405  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-inn 8350  df-n0 8599  df-z 8676  df-uz 8944  df-fz 9349  df-ihash 10072
This theorem is referenced by:  hash1  10107  hashfzo  10118  hashfzp1  10120  hashxp  10122  zfz1iso  10134  hashgcdeq  11070
  Copyright terms: Public domain W3C validator