Theorem hashf1lem2 11264

Description: Lemma for hashf1 11265. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashf1lem2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashf1lem2.2	|- ( ph -> B e. Fin )
hashf1lem2.3	|- ( ph -> -. z e. A )
hashf1lem2.4	|- ( ph -> ( (♯ ` A ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
hashf1lem2	|- ( ph -> (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )

Distinct variable groups:   z, f   A, f   B, f   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   B( z)

Proof of Theorem hashf1lem2

Dummy variables a x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. (/) ) )
2	1	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
3	2	abbidv 2358	. . . . 5 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
4	3	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
5		noel 3525	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( f |` A ) e. (/)
6	5	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f |` A ) e. (/) -> f e. (/) )
7	1, 6	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( f |` A ) e. x -> f e. (/) ) )
8	7	adantrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> f e. (/) ) )
9	8	abssdv 3322	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ (/) )
10		ss0 3563	. . . . . . . 8 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/) )
12	11	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` (/) ) )
13		hash0 11213	. . . . . 6 |- (♯ ` (/) ) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( x = (/) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = 0 )
15		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = (♯ ` (/) ) )
16	15, 13	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = 0 )
17	16	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) )
18	14, 17	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) ) )
19	4, 18	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) ) ) )
20		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. y ) )
21	20	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
22	21	abbidv 2358	. . . . 5 |- ( x = y -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
23	22	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = y -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
24	22	fveq2d 5694	. . . . 5 |- ( x = y -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
25		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( x = y -> (♯ ` x ) = (♯ ` y ) )
26	25	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) )
27	24, 26	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = y -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) )
28	23, 27	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = y -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) )
29		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) ) )
30	29	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
31	30	abbidv 2358	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { a } ) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
32	31	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
33	31	fveq2d 5694	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { a } ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
34		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { a } ) -> (♯ ` x ) = (♯ ` ( y u. { a } ) ) )
35	34	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) )
36	33, 35	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
37	32, 36	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
38		nfab1 2394	. . . . . . 7 |- F/_ f { f | f : A -1-1-> B }
39	38	nfeq2 2404	. . . . . 6 |- F/ f x = { f | f : A -1-1-> B }
40		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } ) )
41	40	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
42	39, 41	abbid 2355	. . . . 5 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
43	42	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
44		f1eq1 5588	. . . . . . . . 9 |- ( f = y -> ( f : A -1-1-> B <-> y : A -1-1-> B ) )
45	44	cbvabv 2365	. . . . . . . 8 |- { f | f : A -1-1-> B } = { y | y : A -1-1-> B }
46	45	eqeq2i 2249	. . . . . . 7 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } <-> x = { y | y : A -1-1-> B } )
47		ssun1 3392	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. { z } )
48		f1ssres 5602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B /\ A C_ ( A u. { z } ) ) -> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
49	47, 48	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
50		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
51	50	resex 5099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f |` A ) e. _V
52		f1eq1 5588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( f |` A ) -> ( y : A -1-1-> B <-> ( f |` A ) : A -1-1-> B ) )
53	51, 52	elab 2970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } <-> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
54	49, 53	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } )
55		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } ) )
56	54, 55	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) e. x ) )
57	56	pm4.71rd 398	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B <-> ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
58	57	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
59	58	abbidv 2358	. . . . . . 7 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } )
60	46, 59	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } )
61	60	fveq2d 5694	. . . . 5 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) )
62		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> (♯ ` x ) = (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) )
63	62	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) )
65	43, 64	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
66	5	intnanr 942	. . . . . . 7 |- -. ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B )
67	66	abf 3569	. . . . . 6 |- { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/)
68		0fi 7178	. . . . . 6 |- (/) e. Fin
69	67, 68	eqeltri 2311	. . . . 5 |- { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin
70	69	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
71		hashf1lem2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. Fin )
72		hashcl 11198	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN0 )
74	73	nn0cnd 9601	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. CC )
75		hashf1lem2.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Fin )
76		hashcl 11198	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
78	77	nn0cnd 9601	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. CC )
79	74, 78	subcld 8627	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) e. CC )
80	79	mul01d 8710	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) = 0 )
81	80	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ph -> 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) )
82	70, 81	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) ) )
83		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) e. { a } ) )
84	51	elsn 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f |` A ) e. { a } <-> ( f |` A ) = a )
85	84	orbi2i 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) e. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) )
86	83, 85	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) )
87	86	anbi1i 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
88		andir 831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
89	87, 88	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
90	89	abbii 2354	. . . . . . 7 |- { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
91		unab 3498	. . . . . . 7 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
92	90, 91	eqtr4i 2262	. . . . . 6 |- { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
93		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
94		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> ph )
95		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) )
96	95	eldifad 3231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> a e. { f | f : A -1-1-> B } )
97		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
98		f1eq1 5588	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = a -> ( f : A -1-1-> B <-> a : A -1-1-> B ) )
99	97, 98	elab 2970	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { f | f : A -1-1-> B } <-> a : A -1-1-> B )
100	96, 99	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> a : A -1-1-> B )
101	71	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> B e. Fin )
102	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> A e. Fin )
103		f1f1orn 5645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a : A -1-1-> B -> a : A -1-1-onto-> ran a )
104	103	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> a : A -1-1-onto-> ran a )
105		f1oen3g 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. _V /\ a : A -1-1-onto-> ran a ) -> A ~~ ran a )
106	97, 104, 105	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> A ~~ ran a )
107	106	ensymd 7060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a ~~ A )
108		enfii 7166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ ran a ~~ A ) -> ran a e. Fin )
109	102, 107, 108	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a e. Fin )
110		f1rn 5594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a : A -1-1-> B -> ran a C_ B )
111	110	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a C_ B )
112		diffifi 7188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ ran a e. Fin /\ ran a C_ B ) -> ( B \ ran a ) e. Fin )
113	101, 109, 111, 112	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( B \ ran a ) e. Fin )
114		hashf1lem2.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. A )
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> -. z e. A )
116		hashf1lem2.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` A ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) )
118		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> a : A -1-1-> B )
119	102, 101, 115, 117, 118	hashf1lem1 11263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) )
120		enfii 7166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B \ ran a ) e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
121	113, 119, 120	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
122	94, 100, 121	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
123	122	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
124		simplll 539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ph )
125		simpllr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> y e. Fin )
126	95	eldifbd 3232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> -. a e. y )
127	126	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> -. a e. y )
128	125, 127	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. a e. y ) )
129		simplrl 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> y C_ { f | f : A -1-1-> B } )
130	96	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> a e. { f | f : A -1-1-> B } )
131	130	snssd 3855	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
132	129, 131	unssd 3405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } )
133		inab 3499	. . . . . . . . 9 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
134		simprlr 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> -. a e. y )
135		abn0m 3547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } <-> E. f ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
136		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( f |` A ) = a )
137		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( f |` A ) e. y )
138	136, 137	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> a e. y )
139	138	exlimiv 1651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. f ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> a e. y )
140	135, 139	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } -> a e. y )
141	140	con3i 641	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. a e. y -> -. E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } )
142		notm0 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } <-> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
143	141, 142	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( -. a e. y -> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
144	134, 143	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
145	133, 144	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) )
146	124, 128, 132, 145	syl12anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) )
147		unfidisj 7219	. . . . . . 7 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. Fin )
148	93, 123, 146, 147	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. Fin )
149	92, 148	eqeltrid 2325	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
150		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) )
151		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
152	92	fveq2i 5693	. . . . . . . . . 10 |- (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
153		hashun 11223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) ) -> (♯ ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
154	93, 123, 146, 153	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
155	152, 154	eqtrid 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
156		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } )
157	156	unssbd 3407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
158	97	snss 3845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. { f | f : A -1-1-> B } <-> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
159	157, 158	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> a e. { f | f : A -1-1-> B } )
160	159, 99	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> a : A -1-1-> B )
161	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` A ) e. CC )
162		hashcl 11198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. NN0 )
163	121, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. NN0 )
164	163	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. CC )
165	102, 104	fihasheqf1od 11206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` ran a ) )
166		hashen 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ ( B \ ran a ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( B \ ran a ) ) <-> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) ) )
167	121, 113, 166	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( B \ ran a ) ) <-> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) ) )
168	119, 167	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( B \ ran a ) ) )
169	165, 168	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` ran a ) + (♯ ` ( B \ ran a ) ) ) )
170		disjdif 3596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/)
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/) )
172		hashun 11223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran a e. Fin /\ ( B \ ran a ) e. Fin /\ ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = ( (♯ ` ran a ) + (♯ ` ( B \ ran a ) ) ) )
173	109, 113, 171, 172	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = ( (♯ ` ran a ) + (♯ ` ( B \ ran a ) ) ) )
174		undiffi 7222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ran a e. Fin /\ ran a C_ B ) -> B = ( ran a u. ( B \ ran a ) ) )
175	101, 109, 111, 174	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> B = ( ran a u. ( B \ ran a ) ) )
176	175	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ran a u. ( B \ ran a ) ) = B )
177	176	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = (♯ ` B ) )
178	169, 173, 177	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = (♯ ` B ) )
179	161, 164, 178	mvlladdd 8681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
180	160, 179	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
181	124, 128, 132, 180	syl12anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
182	181	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
183	155, 182	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
184		hashunsng 11226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> (♯ ` ( y u. { a } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
185	184	elv 2825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> (♯ ` ( y u. { a } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
186	185	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` ( y u. { a } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
187	186	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
188	79	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) e. CC )
189		simprll 543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> y e. Fin )
190		hashcl 11198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
191	189, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
192	191	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
193		1cnd 8332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> 1 e. CC )
194	188, 192, 193	adddid 8340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 1 ) ) )
195	188	mulridd 8333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 1 ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
196	195	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 1 ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
197	187, 194, 196	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
198	124, 128, 132, 197	syl12anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
199	183, 198	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) <-> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) ) )
200	151, 199	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
201	150, 200	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) )
202	149, 201	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
203	202	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
204		f1setfi 7307	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )
205	75, 71, 204	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )
206	19, 28, 37, 65, 82, 203, 205	findcard2sd 7186	. 2 |- ( ph -> ( { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) )
207	206	simprd 114	1 |- ( ph -> (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   class class class wbr 4125   ran crn 4770   |` cres 4771   -1-1->wf1 5369   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ~~ cen 7010   Fincfn 7012   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  hashf1  11265