Theorem hashf1lem2 11286

Description: Lemma for hashf1 11287. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashf1lem2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashf1lem2.2	|- ( ph -> B e. Fin )
hashf1lem2.3	|- ( ph -> -. z e. A )
hashf1lem2.4	|- ( ph -> ( (♯ ` A ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
hashf1lem2	|- ( ph -> (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )

Distinct variable groups:   z, f   A, f   B, f   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   B( z)

Proof of Theorem hashf1lem2

Dummy variables a x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. (/) ) )
2	1	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
3	2	abbidv 2358	. . . . 5 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
4	3	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
5		noel 3525	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( f |` A ) e. (/)
6	5	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f |` A ) e. (/) -> f e. (/) )
7	1, 6	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( f |` A ) e. x -> f e. (/) ) )
8	7	adantrd 279	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> f e. (/) ) )
9	8	abssdv 3322	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ (/) )
10		ss0 3563	. . . . . . . 8 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/) )
12	11	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` (/) ) )
13		hash0 11235	. . . . . 6 |- (♯ ` (/) ) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( x = (/) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = 0 )
15		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = (♯ ` (/) ) )
16	15, 13	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = 0 )
17	16	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) )
18	14, 17	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) ) )
19	4, 18	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) ) ) )
20		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. y ) )
21	20	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
22	21	abbidv 2358	. . . . 5 |- ( x = y -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
23	22	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = y -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
24	22	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( x = y -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
25		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = y -> (♯ ` x ) = (♯ ` y ) )
26	25	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) )
27	24, 26	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = y -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) )
28	23, 27	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = y -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) )
29		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) ) )
30	29	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
31	30	abbidv 2358	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { a } ) -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
32	31	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
33	31	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { a } ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
34		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { a } ) -> (♯ ` x ) = (♯ ` ( y u. { a } ) ) )
35	34	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) )
36	33, 35	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
37	32, 36	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = ( y u. { a } ) -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
38		nfab1 2394	. . . . . . 7 |- F/_ f { f | f : A -1-1-> B }
39	38	nfeq2 2404	. . . . . 6 |- F/ f x = { f | f : A -1-1-> B }
40		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } ) )
41	40	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
42	39, 41	abbid 2355	. . . . 5 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
43	42	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin <-> { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin ) )
44		f1eq1 5593	. . . . . . . . 9 |- ( f = y -> ( f : A -1-1-> B <-> y : A -1-1-> B ) )
45	44	cbvabv 2365	. . . . . . . 8 |- { f | f : A -1-1-> B } = { y | y : A -1-1-> B }
46	45	eqeq2i 2249	. . . . . . 7 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } <-> x = { y | y : A -1-1-> B } )
47		ssun1 3392	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. { z } )
48		f1ssres 5607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B /\ A C_ ( A u. { z } ) ) -> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
49	47, 48	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
50		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
51	50	resex 5104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f |` A ) e. _V
52		f1eq1 5593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( f |` A ) -> ( y : A -1-1-> B <-> ( f |` A ) : A -1-1-> B ) )
53	51, 52	elab 2970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } <-> ( f |` A ) : A -1-1-> B )
54	49, 53	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } )
55		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( ( f |` A ) e. x <-> ( f |` A ) e. { y | y : A -1-1-> B } ) )
56	54, 55	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> ( f |` A ) e. x ) )
57	56	pm4.71rd 398	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B <-> ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
58	57	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> ( ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
59	58	abbidv 2358	. . . . . . 7 |- ( x = { y | y : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } )
60	46, 59	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } )
61	60	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) )
62		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> (♯ ` x ) = (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) )
63	62	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) <-> (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) )
65	43, 64	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = { f | f : A -1-1-> B } -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. x /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` x ) ) ) <-> ( { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
66	5	intnanr 942	. . . . . . 7 |- -. ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B )
67	66	abf 3570	. . . . . 6 |- { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = (/)
68		0fi 7188	. . . . . 6 |- (/) e. Fin
69	67, 68	eqeltri 2311	. . . . 5 |- { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin
70	69	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
71		hashf1lem2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. Fin )
72		hashcl 11220	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN0 )
74	73	nn0cnd 9622	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. CC )
75		hashf1lem2.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Fin )
76		hashcl 11220	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
78	77	nn0cnd 9622	. . . . . . 7 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. CC )
79	74, 78	subcld 8637	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) e. CC )
80	79	mul01d 8720	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) = 0 )
81	80	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ph -> 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) )
82	70, 81	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( { f | ( ( f |` A ) e. (/) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ 0 = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 0 ) ) )
83		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) e. { a } ) )
84	51	elsn 3725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f |` A ) e. { a } <-> ( f |` A ) = a )
85	84	orbi2i 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) e. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) )
86	83, 85	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) <-> ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) )
87	86	anbi1i 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
88		andir 831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y \/ ( f |` A ) = a ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
89	87, 88	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
90	89	abbii 2354	. . . . . . 7 |- { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
91		unab 3498	. . . . . . 7 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) \/ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
92	90, 91	eqtr4i 2262	. . . . . 6 |- { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } = ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
93		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
94		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> ph )
95		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) )
96	95	eldifad 3231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> a e. { f | f : A -1-1-> B } )
97		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
98		f1eq1 5593	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = a -> ( f : A -1-1-> B <-> a : A -1-1-> B ) )
99	97, 98	elab 2970	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { f | f : A -1-1-> B } <-> a : A -1-1-> B )
100	96, 99	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> a : A -1-1-> B )
101	71	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> B e. Fin )
102	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> A e. Fin )
103		f1f1orn 5650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a : A -1-1-> B -> a : A -1-1-onto-> ran a )
104	103	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> a : A -1-1-onto-> ran a )
105		f1oen3g 7040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. _V /\ a : A -1-1-onto-> ran a ) -> A ~~ ran a )
106	97, 104, 105	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> A ~~ ran a )
107	106	ensymd 7070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a ~~ A )
108		enfii 7176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ ran a ~~ A ) -> ran a e. Fin )
109	102, 107, 108	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a e. Fin )
110		f1rn 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a : A -1-1-> B -> ran a C_ B )
111	110	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ran a C_ B )
112		diffifi 7198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ ran a e. Fin /\ ran a C_ B ) -> ( B \ ran a ) e. Fin )
113	101, 109, 111, 112	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( B \ ran a ) e. Fin )
114		hashf1lem2.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. A )
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> -. z e. A )
116		hashf1lem2.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` A ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) )
118		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> a : A -1-1-> B )
119	102, 101, 115, 117, 118	hashf1lem1 11285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) )
120		enfii 7176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B \ ran a ) e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
121	113, 119, 120	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
122	94, 100, 121	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
123	122	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
124		simplll 539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ph )
125		simpllr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> y e. Fin )
126	95	eldifbd 3232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> -. a e. y )
127	126	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> -. a e. y )
128	125, 127	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. a e. y ) )
129		simplrl 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> y C_ { f | f : A -1-1-> B } )
130	96	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> a e. { f | f : A -1-1-> B } )
131	130	snssd 3860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
132	129, 131	unssd 3405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } )
133		inab 3499	. . . . . . . . 9 |- ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) }
134		simprlr 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> -. a e. y )
135		abn0m 3547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } <-> E. f ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
136		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( f |` A ) = a )
137		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( f |` A ) e. y )
138	136, 137	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> a e. y )
139	138	exlimiv 1651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. f ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> a e. y )
140	135, 139	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } -> a e. y )
141	140	con3i 641	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. a e. y -> -. E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } )
142		notm0 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. w w e. { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } <-> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
143	141, 142	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( -. a e. y -> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
144	134, 143	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> { f | ( ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) } = (/) )
145	133, 144	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) )
146	124, 128, 132, 145	syl12anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) )
147		unfidisj 7229	. . . . . . 7 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. Fin )
148	93, 123, 146, 147	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. Fin )
149	92, 148	eqeltrid 2325	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin )
150		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) )
151		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
152	92	fveq2i 5698	. . . . . . . . . 10 |- (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
153		hashun 11245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } i^i { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (/) ) -> (♯ ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
154	93, 123, 146, 153	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } u. { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
155	152, 154	eqtrid 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) )
156		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } )
157	156	unssbd 3407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
158	97	snss 3850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. { f | f : A -1-1-> B } <-> { a } C_ { f | f : A -1-1-> B } )
159	157, 158	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> a e. { f | f : A -1-1-> B } )
160	159, 99	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) -> a : A -1-1-> B )
161	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` A ) e. CC )
162		hashcl 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. NN0 )
163	121, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. NN0 )
164	163	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) e. CC )
165	102, 104	fihasheqf1od 11228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` ran a ) )
166		hashen 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ ( B \ ran a ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( B \ ran a ) ) <-> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) ) )
167	121, 113, 166	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( B \ ran a ) ) <-> { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran a ) ) )
168	119, 167	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = (♯ ` ( B \ ran a ) ) )
169	165, 168	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` ran a ) + (♯ ` ( B \ ran a ) ) ) )
170		disjdif 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/)
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/) )
172		hashun 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran a e. Fin /\ ( B \ ran a ) e. Fin /\ ( ran a i^i ( B \ ran a ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = ( (♯ ` ran a ) + (♯ ` ( B \ ran a ) ) ) )
173	109, 113, 171, 172	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = ( (♯ ` ran a ) + (♯ ` ( B \ ran a ) ) ) )
174		undiffi 7232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ran a e. Fin /\ ran a C_ B ) -> B = ( ran a u. ( B \ ran a ) ) )
175	101, 109, 111, 174	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> B = ( ran a u. ( B \ ran a ) ) )
176	175	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( ran a u. ( B \ ran a ) ) = B )
177	176	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` ( ran a u. ( B \ ran a ) ) ) = (♯ ` B ) )
178	169, 173, 177	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = (♯ ` B ) )
179	161, 164, 178	mvlladdd 8691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a : A -1-1-> B ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
180	160, 179	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
181	124, 128, 132, 180	syl12anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
182	181	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + (♯ ` { f | ( ( f |` A ) = a /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
183	155, 182	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
184		hashunsng 11248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> (♯ ` ( y u. { a } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
185	184	elv 2825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) -> (♯ ` ( y u. { a } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
186	185	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` ( y u. { a } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
187	186	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
188	79	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) e. CC )
189		simprll 543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> y e. Fin )
190		hashcl 11220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
191	189, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
192	191	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
193		1cnd 8342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> 1 e. CC )
194	188, 192, 193	adddid 8350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 1 ) ) )
195	188	mulridd 8343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 1 ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) )
196	195	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. 1 ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
197	187, 194, 196	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y e. Fin /\ -. a e. y ) /\ ( y u. { a } ) C_ { f | f : A -1-1-> B } ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
198	124, 128, 132, 197	syl12anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) )
199	183, 198	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) <-> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) = ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) + ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) ) ) )
200	151, 199	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
201	150, 200	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) )
202	149, 201	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) /\ ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) )
203	202	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ { f | f : A -1-1-> B } /\ a e. ( { f | f : A -1-1-> B } \ y ) ) ) -> ( ( { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. y /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` y ) ) ) -> ( { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | ( ( f |` A ) e. ( y u. { a } ) /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` ( y u. { a } ) ) ) ) ) )
204		f1setfi 7317	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )
205	75, 71, 204	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> { f | f : A -1-1-> B } e. Fin )
206	19, 28, 37, 65, 82, 203, 205	findcard2sd 7196	. 2 |- ( ph -> ( { f | ( ( f |` A ) e. { f | f : A -1-1-> B } /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. Fin /\ (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) ) )
207	206	simprd 114	1 |- ( ph -> (♯ ` { f | f : ( A u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` A ) ) x. (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4130   ran crn 4775   |` cres 4776   -1-1->wf1 5374   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   - cmin 8497   NN0cn0 9563  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-ihash 11215

This theorem is used by:  hashf1  11287