Theorem 2teven 11425

Description: A number which is twice an integer is even. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2teven	|- ( ( A e. ZZ /\ B = ( 2 x. A ) ) -> 2 || B )

Proof of Theorem 2teven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 8979	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		dvdsmul1 11356	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. A ) )
3	1, 2	mpan 418	. . 3 |- ( A e. ZZ -> 2 || ( 2 x. A ) )
4	3	adantr 272	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B = ( 2 x. A ) ) -> 2 || ( 2 x. A ) )
5		breq2 3897	. . 3 |- ( B = ( 2 x. A ) -> ( 2 || B <-> 2 || ( 2 x. A ) ) )
6	5	adantl 273	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B = ( 2 x. A ) ) -> ( 2 || B <-> 2 || ( 2 x. A ) ) )
7	4, 6	mpbird 166	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B = ( 2 x. A ) ) -> 2 || B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   x. cmul 7545   2c2 8674   ZZcz 8951   || cdvds 11334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-ltadd 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-2 8682  df-n0 8875  df-z 8952  df-dvds 11335

This theorem is referenced by: (None)