Theorem dvdsmul1 12503

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9584	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		zcn 9584	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
3		mulcom 8258	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
5		zmulcl 9633	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
6		dvds0lem 12491	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( N x. M ) = ( M x. N ) ) -> M || ( M x. N ) )
7	6	ex 115	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
8	7	3com12 1234	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
9	5, 8	mpd3an3 1375	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. M ) = ( M x. N ) -> M || ( M x. N ) ) )
10	4, 9	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   CCcc 8127   x. cmul 8134   ZZcz 9579   || cdvds 12477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-dvds 12478

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  12521  3dvdsdec  12555  3dvds2dec  12556  2teven  12577  opoe  12585  omoe  12586  z4even  12606  ndvdsi  12623  bits0e  12639  bits0o  12640  mulgcd  12716  dvdsmulgcd  12725  lcmval  12764  lcmcllem  12768  lcmgcdlem  12778  qredeq  12797  cncongr2  12805  nprm  12824  exprmfct  12839  prmdiv  12936  difsqpwdvds  13040  expnprm  13055  pockthlem  13058  4sqlem14  13106  evenennn  13161  znunit  14824  mpodvdsmulf1o  15875  perfectlem1  15884  lgsdir  15925  lgsquadlem1  15967  lgsquad2lem1  15971  lgsquad2lem2  15972  2lgsoddprmlem2  15996  2lgsoddprmlem3  16001  2sqlem4  16008