Theorem sqoddm1div8z 12030

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8z	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ )

Proof of Theorem sqoddm1div8z

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12017	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N ) )
2	1	biimpa 296	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N )
3		eqcom 2195	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N <-> N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
4		sqoddm1div8 10767	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) )
5	4	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) )
6		mulsucdiv2z 12029	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) e. ZZ )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) e. ZZ )
8	5, 7	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ )
9	8	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ ) )
10	3, 9	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ ) )
11	10	rexlimdva 2611	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ ) )
12	2, 11	mpd 13	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   / cdiv 8693   2c2 9035   8c8 9041   ZZcz 9320   ^cexp 10612   || cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-dvds 11934

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  15270