Theorem sqoddm1div8z 12139

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8z	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ )

Proof of Theorem sqoddm1div8z

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12126	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N ) )
2	1	biimpa 296	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N )
3		eqcom 2206	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N <-> N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
4		sqoddm1div8 10836	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) )
5	4	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) )
6		mulsucdiv2z 12138	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) e. ZZ )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( k x. ( k + 1 ) ) / 2 ) e. ZZ )
8	5, 7	eqeltrd 2281	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ )
9	8	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ ) )
10	3, 9	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ ) )
11	10	rexlimdva 2622	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = N -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ ) )
12	2, 11	mpd 13	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   E.wrex 2484   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   - cmin 8242   / cdiv 8744   2c2 9086   8c8 9092   ZZcz 9371   ^cexp 10681   || cdvds 12040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-xor 1395  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-dvds 12041

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  15532