Theorem le9lt10 9381

Description: A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
le9lt10.c	|- A e. NN0
le9lt10.e	|- A <_ 9

Assertion

Ref	Expression
le9lt10	|- A < ; 1 0

Proof of Theorem le9lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le9lt10.e	. . 3 |- A <_ 9
2		le9lt10.c	. . . . 5 |- A e. NN0
3	2	nn0zi 9246	. . . 4 |- A e. ZZ
4		9nn0 9171	. . . . 5 |- 9 e. NN0
5	4	nn0zi 9246	. . . 4 |- 9 e. ZZ
6		zleltp1 9279	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( A <_ 9 <-> A < ( 9 + 1 ) ) )
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . 3 |- ( A <_ 9 <-> A < ( 9 + 1 ) )
8	1, 7	mpbi 145	. 2 |- A < ( 9 + 1 )
9		9p1e10 9357	. 2 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
10	8, 9	breqtri 4023	1 |- A < ; 1 0

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966   <_ cle 7967   9c9 8948   NN0cn0 9147   ZZcz 9224  ;cdc 9355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-dec 9356

This theorem is referenced by:  declth  9384  decltdi  9393