ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le9lt10 Unicode version

Theorem le9lt10 9477
Description: A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
le9lt10.c  |-  A  e. 
NN0
le9lt10.e  |-  A  <_ 
9
Assertion
Ref Expression
le9lt10  |-  A  < ; 1 0

Proof of Theorem le9lt10
StepHypRef Expression
1 le9lt10.e . . 3  |-  A  <_ 
9
2 le9lt10.c . . . . 5  |-  A  e. 
NN0
32nn0zi 9342 . . . 4  |-  A  e.  ZZ
4 9nn0 9267 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
54nn0zi 9342 . . . 4  |-  9  e.  ZZ
6 zleltp1 9375 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  9  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  9  <->  A  <  ( 9  +  1 ) ) )
73, 5, 6mp2an 426 . . 3  |-  ( A  <_  9  <->  A  <  ( 9  +  1 ) )
81, 7mpbi 145 . 2  |-  A  < 
( 9  +  1 )
9 9p1e10 9453 . 2  |-  ( 9  +  1 )  = ; 1
0
108, 9breqtri 4055 1  |-  A  < ; 1 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875    + caddc 7877    < clt 8056    <_ cle 8057   9c9 9042   NN0cn0 9243   ZZcz 9320  ;cdc 9451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452
This theorem is referenced by:  declth  9480  decltdi  9489
  Copyright terms: Public domain W3C validator