Theorem le9lt10 9604

Description: A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
le9lt10.c	|- A e. NN0
le9lt10.e	|- A <_ 9

Assertion

Ref	Expression
le9lt10	|- A < ; 1 0

Proof of Theorem le9lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le9lt10.e	. . 3 |- A <_ 9
2		le9lt10.c	. . . . 5 |- A e. NN0
3	2	nn0zi 9468	. . . 4 |- A e. ZZ
4		9nn0 9393	. . . . 5 |- 9 e. NN0
5	4	nn0zi 9468	. . . 4 |- 9 e. ZZ
6		zleltp1 9502	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( A <_ 9 <-> A < ( 9 + 1 ) ) )
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . 3 |- ( A <_ 9 <-> A < ( 9 + 1 ) )
8	1, 7	mpbi 145	. 2 |- A < ( 9 + 1 )
9		9p1e10 9580	. 2 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
10	8, 9	breqtri 4108	1 |- A < ; 1 0

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   9c9 9168   NN0cn0 9369   ZZcz 9446  ;cdc 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579

This theorem is referenced by:  declth  9607  decltdi  9616