Theorem le9lt10 9753

Description: A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
le9lt10.c	|- A e. NN0
le9lt10.e	|- A <_ 9

Assertion

Ref	Expression
le9lt10	|- A < ; 1 0

Proof of Theorem le9lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le9lt10.e	. . 3 |- A <_ 9
2		le9lt10.c	. . . . 5 |- A e. NN0
3	2	nn0zi 9616	. . . 4 |- A e. ZZ
4		9nn0 9537	. . . . 5 |- 9 e. NN0
5	4	nn0zi 9616	. . . 4 |- 9 e. ZZ
6		zleltp1 9650	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( A <_ 9 <-> A < ( 9 + 1 ) ) )
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . 3 |- ( A <_ 9 <-> A < ( 9 + 1 ) )
8	1, 7	mpbi 145	. 2 |- A < ( 9 + 1 )
9		9p1e10 9729	. 2 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
10	8, 9	breqtri 4139	1 |- A < ; 1 0

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   9c9 9312   NN0cn0 9513   ZZcz 9594  ;cdc 9727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728

This theorem is referenced by:  declth  9756  decltdi  9765