Theorem 9p1e10 9711

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9710	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9406	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9248	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9257	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9247	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8276	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6060	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8415	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2258	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132  ℕcn 9237  9c9 9295  ;cdc 9709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-dec 9710

This theorem is referenced by:  dfdec10  9712  10nn  9724  le9lt10  9735  decsucc  9749  5p5e10  9779  6p4e10  9780  7p3e10  9783  8p2e10  9788  9p2e11  9795  10m1e9  9804  9lt10  9839  sq10e99m1  11075  3dvds  12550  3dvdsdec  12551  3dvds2dec  12552