Theorem 9p1e10 9784

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9783	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9478	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9318	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9327	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9317	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8329	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6095	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8470	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2264	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185  ℕcn 9307  9c9 9365  ;cdc 9782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-dec 9783

This theorem is used by:  dfdec10  9785  10nn  9801  le9lt10  9813  decsucc  9827  5p5e10  9857  6p4e10  9858  7p3e10  9861  8p2e10  9866  9p2e11  9873  10m1e9  9882  9lt10  9917  sq10e99m1  11167  3dvds  12650  3dvdsdec  12651  3dvds2dec  12652  1259lem2  13266  1259lem3  13267  1259lem4  13268  bposlem4  16275  bposlem5  16276