Theorem 9p1e10 9783

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9782	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9477	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9317	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9326	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9316	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8328	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6095	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8469	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2264	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕcn 9306  9c9 9364  ;cdc 9781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-dec 9782

This theorem is used by:  dfdec10  9784  10nn  9800  le9lt10  9812  decsucc  9826  5p5e10  9856  6p4e10  9857  7p3e10  9860  8p2e10  9865  9p2e11  9872  10m1e9  9881  9lt10  9916  sq10e99m1  11165  3dvds  12647  3dvdsdec  12648  3dvds2dec  12649  1259lem2  13263  1259lem3  13264  1259lem4  13265  bposlem4  16212  bposlem5  16213