Theorem 9p1e10 9603

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9602	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9302	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9153	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9143	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8171	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6023	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8311	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2255	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   · cmul 8027  ℕcn 9133  9c9 9191  ;cdc 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-dec 9602

This theorem is referenced by:  dfdec10  9604  10nn  9616  le9lt10  9627  decsucc  9641  5p5e10  9671  6p4e10  9672  7p3e10  9675  8p2e10  9680  9p2e11  9687  10m1e9  9696  9lt10  9731  sq10e99m1  10965  3dvds  12415  3dvdsdec  12416  3dvds2dec  12417