Theorem 9p1e10 9613

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9612	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9312	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9154	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9163	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9153	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8181	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6028	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8321	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2257	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  ℕcn 9143  9c9 9201  ;cdc 9611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-dec 9612

This theorem is referenced by:  dfdec10  9614  10nn  9626  le9lt10  9637  decsucc  9651  5p5e10  9681  6p4e10  9682  7p3e10  9685  8p2e10  9690  9p2e11  9697  10m1e9  9706  9lt10  9741  sq10e99m1  10976  3dvds  12430  3dvdsdec  12431  3dvds2dec  12432