Theorem 9p1e10 9453

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9452	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9153	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 8995	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9004	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 8994	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 8023	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5929	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 8163	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2219	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879  ℕcn 8984  9c9 9042  ;cdc 9451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-dec 9452

This theorem is referenced by:  dfdec10  9454  10nn  9466  le9lt10  9477  decsucc  9491  5p5e10  9521  6p4e10  9522  7p3e10  9525  8p2e10  9530  9p2e11  9537  10m1e9  9546  9lt10  9581  sq10e99m1  10787  3dvdsdec  12009  3dvds2dec  12010