Theorem 9p1e10 9729

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9728	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9423	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9265	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9274	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9264	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8292	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6068	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8431	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2260	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148  ℕcn 9254  9c9 9312  ;cdc 9727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-dec 9728

This theorem is referenced by:  dfdec10  9730  10nn  9742  le9lt10  9753  decsucc  9767  5p5e10  9797  6p4e10  9798  7p3e10  9801  8p2e10  9806  9p2e11  9813  10m1e9  9822  9lt10  9857  sq10e99m1  11100  3dvds  12575  3dvdsdec  12576  3dvds2dec  12577