Theorem 9p1e10 9422

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9421	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9123	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 8966	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 8975	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 8965	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 7995	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5910	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 8135	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2215	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5900  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   · cmul 7851  ℕcn 8955  9c9 9013  ;cdc 9420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-cnre 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-iota 5199  df-fv 5246  df-ov 5903  df-inn 8956  df-2 9014  df-3 9015  df-4 9016  df-5 9017  df-6 9018  df-7 9019  df-8 9020  df-9 9021  df-dec 9421

This theorem is referenced by:  dfdec10  9423  10nn  9435  le9lt10  9446  decsucc  9460  5p5e10  9490  6p4e10  9491  7p3e10  9494  8p2e10  9499  9p2e11  9506  10m1e9  9515  9lt10  9550  sq10e99m1  10735  3dvdsdec  11912  3dvds2dec  11913