Theorem 9p1e10 9085

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9084	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 8789	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 8638	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 8647	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 420	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 8637	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 7689	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5738	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 7824	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2140	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  (class class class)co 5728  0cc0 7544  1c1 7545   + caddc 7547   · cmul 7549  ℕcn 8627  9c9 8685  ;cdc 9083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-mulass 7645  ax-distr 7646  ax-1rid 7649  ax-0id 7650  ax-cnre 7653

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-5 8689  df-6 8690  df-7 8691  df-8 8692  df-9 8693  df-dec 9084

This theorem is referenced by:  dfdec10  9086  10nn  9098  le9lt10  9109  decsucc  9123  5p5e10  9153  6p4e10  9154  7p3e10  9157  8p2e10  9162  9p2e11  9169  10m1e9  9178  9lt10  9213  sq10e99m1  10350  3dvdsdec  11407  3dvds2dec  11408