Theorem 9p1e10 9476

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9475	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9176	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9018	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9027	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9017	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8045	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5935	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8185	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2222	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901  ℕcn 9007  9c9 9065  ;cdc 9474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-dec 9475

This theorem is referenced by:  dfdec10  9477  10nn  9489  le9lt10  9500  decsucc  9514  5p5e10  9544  6p4e10  9545  7p3e10  9548  8p2e10  9553  9p2e11  9560  10m1e9  9569  9lt10  9604  sq10e99m1  10822  3dvds  12046  3dvdsdec  12047  3dvds2dec  12048