Theorem 9p1e10 9459

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9458	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9159	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9001	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9010	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9000	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8028	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5932	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8168	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2222	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884  ℕcn 8990  9c9 9048  ;cdc 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-dec 9458

This theorem is referenced by:  dfdec10  9460  10nn  9472  le9lt10  9483  decsucc  9497  5p5e10  9527  6p4e10  9528  7p3e10  9531  8p2e10  9536  9p2e11  9543  10m1e9  9552  9lt10  9587  sq10e99m1  10805  3dvds  12029  3dvdsdec  12030  3dvds2dec  12031