Theorem 9p1e10 9762

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9761	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9456	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9298	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9307	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9297	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8322	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6089	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8462	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2264	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178  ℕcn 9287  9c9 9345  ;cdc 9760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-cnre 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-dec 9761

This theorem is used by:  dfdec10  9763  10nn  9775  le9lt10  9786  decsucc  9800  5p5e10  9830  6p4e10  9831  7p3e10  9834  8p2e10  9839  9p2e11  9846  10m1e9  9855  9lt10  9890  sq10e99m1  11134  3dvds  12614  3dvdsdec  12615  3dvds2dec  12616