Theorem 9p1e10 9488

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9487	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9187	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9029	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9038	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9028	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8056	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5944	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8196	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2230	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5934  0cc0 7907  1c1 7908   + caddc 7910   · cmul 7912  ℕcn 9018  9c9 9076  ;cdc 9486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5229  df-fv 5276  df-ov 5937  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-dec 9487

This theorem is referenced by:  dfdec10  9489  10nn  9501  le9lt10  9512  decsucc  9526  5p5e10  9556  6p4e10  9557  7p3e10  9560  8p2e10  9565  9p2e11  9572  10m1e9  9581  9lt10  9616  sq10e99m1  10839  3dvds  12094  3dvdsdec  12095  3dvds2dec  12096