Theorem 9p1e10 9591

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9590	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9290	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 9132	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 9141	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 9131	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 8159	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6017	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 8299	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2255	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015  ℕcn 9121  9c9 9179  ;cdc 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-dec 9590

This theorem is referenced by:  dfdec10  9592  10nn  9604  le9lt10  9615  decsucc  9629  5p5e10  9659  6p4e10  9660  7p3e10  9663  8p2e10  9668  9p2e11  9675  10m1e9  9684  9lt10  9719  sq10e99m1  10947  3dvds  12390  3dvdsdec  12391  3dvds2dec  12392