Theorem 9p1e10 9388

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9387	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 9089	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 8932	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 8941	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 8931	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 7961	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5887	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 8101	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2203	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818  ℕcn 8921  9c9 8979  ;cdc 9386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-dec 9387

This theorem is referenced by:  dfdec10  9389  10nn  9401  le9lt10  9412  decsucc  9426  5p5e10  9456  6p4e10  9457  7p3e10  9460  8p2e10  9465  9p2e11  9472  10m1e9  9481  9lt10  9516  sq10e99m1  10695  3dvdsdec  11872  3dvds2dec  11873