Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3dvdsdec Unicode version

Theorem 3dvdsdec 11307
 Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if and actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers and , especially if is itself a decimal number, e.g. ;. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a
3dvdsdec.b
Assertion
Ref Expression
3dvdsdec ;

Proof of Theorem 3dvdsdec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 8979 . . . 4 ; ;
2 9p1e10 8978 . . . . . . . 8 ;
32eqcomi 2099 . . . . . . 7 ;
43oveq1i 5700 . . . . . 6 ;
5 9cn 8608 . . . . . . 7
6 ax-1cn 7535 . . . . . . 7
7 3dvdsdec.a . . . . . . . 8
87nn0cni 8783 . . . . . . 7
95, 6, 8adddiri 7596 . . . . . 6
108mulid2i 7588 . . . . . . 7
1110oveq2i 5701 . . . . . 6
124, 9, 113eqtri 2119 . . . . 5 ;
1312oveq1i 5700 . . . 4 ;
145, 8mulcli 7590 . . . . 5
15 3dvdsdec.b . . . . . 6
1615nn0cni 8783 . . . . 5
1714, 8, 16addassi 7593 . . . 4
181, 13, 173eqtri 2119 . . 3 ;
1918breq2i 3875 . 2 ;
20 3z 8877 . . 3
217nn0zi 8870 . . . 4
2215nn0zi 8870 . . . 4
23 zaddcl 8888 . . . 4
2421, 22, 23mp2an 418 . . 3
25 9nn 8682 . . . . . 6
2625nnzi 8869 . . . . 5
27 zmulcl 8901 . . . . 5
2826, 21, 27mp2an 418 . . . 4
29 zmulcl 8901 . . . . . . 7
3020, 21, 29mp2an 418 . . . . . 6
31 dvdsmul1 11260 . . . . . 6
3220, 30, 31mp2an 418 . . . . 5
33 3t3e9 8671 . . . . . . . 8
3433eqcomi 2099 . . . . . . 7
3534oveq1i 5700 . . . . . 6
36 3cn 8595 . . . . . . 7
3736, 36, 8mulassi 7594 . . . . . 6
3835, 37eqtri 2115 . . . . 5
3932, 38breqtrri 3892 . . . 4
4028, 39pm3.2i 267 . . 3
41 dvdsadd2b 11285 . . 3
4220, 24, 40, 41mp3an 1280 . 2
4319, 42bitr4i 186 1 ;
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wb 104   wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  cc0 7447  c1 7448   caddc 7450   cmul 7452  c3 8572  c9 8578  cn0 8771  cz 8848  ;cdc 8976   cdvds 11238 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-7 8584  df-8 8585  df-9 8586  df-n0 8772  df-z 8849  df-dec 8977  df-dvds 11239 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator