Theorem ovmpod 6073

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	|- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
ovmpod.2	|- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
ovmpod.3	|- ( ph -> A e. C )
ovmpod.4	|- ( ph -> B e. D )
ovmpod.5	|- ( ph -> S e. X )

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	|- ( ph -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   R( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 |- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
2		ovmpod.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
3		eqidd 2206	. 2 |- ( ( ph /\ x = A ) -> D = D )
4		ovmpod.3	. 2 |- ( ph -> A e. C )
5		ovmpod.4	. 2 |- ( ph -> B e. D )
6		ovmpod.5	. 2 |- ( ph -> S e. X )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 6072	1 |- ( ph -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949

This theorem is referenced by:  ovmpoga  6075  fvmpopr2d  6082  elovmpod  6144  iseqovex  10603  seqvalcd  10606  swrdval  11101  resqrexlemp1rp  11317  resqrexlemfp1  11320  lcmval  12385  ennnfonelemg  12774  prdsval  13105  prdsplusgval  13115  prdsmulrval  13117  imasival  13138  qusval  13155  plusfvalg  13195  igsumvalx  13221  grpsubval  13378  mulgval  13458  dvrvald  13896  isrim0  13923  rhmval  13935  scafvalg  14069  rmodislmodlem  14112  rmodislmod  14113  psrval  14428  cnfval  14666  cnpfval  14667  blvalps  14860  blval  14861