Theorem ovmpod 6047

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	|- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
ovmpod.2	|- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
ovmpod.3	|- ( ph -> A e. C )
ovmpod.4	|- ( ph -> B e. D )
ovmpod.5	|- ( ph -> S e. X )

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	|- ( ph -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   R( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 |- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
2		ovmpod.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
3		eqidd 2194	. 2 |- ( ( ph /\ x = A ) -> D = D )
4		ovmpod.3	. 2 |- ( ph -> A e. C )
5		ovmpod.4	. 2 |- ( ph -> B e. D )
6		ovmpod.5	. 2 |- ( ph -> S e. X )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 6046	1 |- ( ph -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924

This theorem is referenced by:  ovmpoga  6049  fvmpopr2d  6056  elovmpod  6118  iseqovex  10532  seqvalcd  10535  resqrexlemp1rp  11153  resqrexlemfp1  11156  lcmval  12204  ennnfonelemg  12563  imasival  12892  qusval  12909  plusfvalg  12949  igsumvalx  12975  grpsubval  13121  mulgval  13195  dvrvald  13633  isrim0  13660  rhmval  13672  scafvalg  13806  rmodislmodlem  13849  rmodislmod  13850  psrval  14163  cnfval  14373  cnpfval  14374  blvalps  14567  blval  14568