Theorem ovmpod 6138

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	|- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
ovmpod.2	|- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
ovmpod.3	|- ( ph -> A e. C )
ovmpod.4	|- ( ph -> B e. D )
ovmpod.5	|- ( ph -> S e. X )

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	|- ( ph -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   R( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 |- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
2		ovmpod.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
3		eqidd 2230	. 2 |- ( ( ph /\ x = A ) -> D = D )
4		ovmpod.3	. 2 |- ( ph -> A e. C )
5		ovmpod.4	. 2 |- ( ph -> B e. D )
6		ovmpod.5	. 2 |- ( ph -> S e. X )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 6137	1 |- ( ph -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012

This theorem is referenced by:  ovmpoga  6140  fvmpopr2d  6147  elovmpod  6209  iseqovex  10692  seqvalcd  10695  swrdval  11195  pfxval  11221  resqrexlemp1rp  11532  resqrexlemfp1  11535  lcmval  12600  ennnfonelemg  12989  prdsval  13321  prdsplusgval  13331  prdsmulrval  13333  imasival  13354  qusval  13371  plusfvalg  13411  igsumvalx  13437  grpsubval  13594  mulgval  13674  dvrvald  14113  isrim0  14140  rhmval  14152  scafvalg  14286  rmodislmodlem  14329  rmodislmod  14330  psrval  14645  cnfval  14883  cnpfval  14884  blvalps  15077  blval  15078