Theorem ovmpod 6216

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	|- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
ovmpod.2	|- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
ovmpod.3	|- ( ph -> A e. C )
ovmpod.4	|- ( ph -> B e. D )
ovmpod.5	|- ( ph -> S e. X )

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	|- ( ph -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   R( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 |- ( ph -> F = ( x e. C , y e. D |-> R ) )
2		ovmpod.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x = A /\ y = B ) ) -> R = S )
3		eqidd 2239	. 2 |- ( ( ph /\ x = A ) -> D = D )
4		ovmpod.3	. 2 |- ( ph -> A e. C )
5		ovmpod.4	. 2 |- ( ph -> B e. D )
6		ovmpod.5	. 2 |- ( ph -> S e. X )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 6215	1 |- ( ph -> ( A F B ) = S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090

This theorem is used by:  ovmpoga  6218  fvmpopr2d  6225  elovmpod  6287  suppval  6477  iseqovex  10908  seqvalcd  10911  swrdval  11434  pfxval  11460  resqrexlemp1rp  11786  resqrexlemfp1  11789  lcmval  12857  ennnfonelemg  13343  imasival  13676  qusval  13693  plusfvalg  13732  gzsumvalx  13758  grpsubval  13900  mulgval  13974  prdsval  14222  prdsplusgval  14232  prdsmulrval  14234  dvrvald  14490  isrim0  14517  rhmval  14529  scafvalg  14693  rmodislmodlem  14736  rmodislmod  14737  psrval  15099  cnfval  15344  cnpfval  15345  blvalps  15538  blval  15539