Theorem climcn1lem 11081

Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1lem.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcn1lem.2	|- ( ph -> F ~~> A )
climcn1lem.4	|- ( ph -> G e. W )
climcn1lem.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcn1lem.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climcn1lem.7	|- H : CC --> CC
climcn1lem.8	|- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. CC ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( H ` A ) ) ) < x ) )
climcn1lem.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcn1lem	|- ( ph -> G ~~> ( H ` A ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, A   k, F, y, z   k, G, x   ph, k, x, y, z   k, Z, y   k, H, x, y, z   k, M

Allowed substitution hints:   F( x)   G( y, z)   M( x, y, z)   W( x, y, z, k)   Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1lem.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climcn1lem.5	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climcn1lem.2	. . 3 |- ( ph -> F ~~> A )
4		climcl 11044	. . 3 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
6		climcn1lem.7	. . . 4 |- H : CC --> CC
7	6	ffvelrni 5547	. . 3 |- ( z e. CC -> ( H ` z ) e. CC )
8	7	adantl 275	. 2 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( H ` z ) e. CC )
9		climcn1lem.4	. 2 |- ( ph -> G e. W )
10		climcn1lem.8	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. CC ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( H ` A ) ) ) < x ) )
11	5, 10	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. CC ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( H ` A ) ) ) < x ) )
12		climcn1lem.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
13		climcn1lem.9	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )
14	1, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13	climcn1 11070	1 |- ( ph -> G ~~> ( H ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   class class class wbr 3924   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   < clt 7793   - cmin 7926   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   RR+crp 9434   abscabs 10762   ~~> cli 11040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-clim 11041

This theorem is referenced by:  climabs  11082  climcj  11083  climre  11084  climim  11085