Theorem climcn1lem 10545

Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1lem.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcn1lem.2	|- ( ph -> F ~~> A )
climcn1lem.4	|- ( ph -> G e. W )
climcn1lem.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcn1lem.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climcn1lem.7	|- H : CC --> CC
climcn1lem.8	|- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. CC ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( H ` A ) ) ) < x ) )
climcn1lem.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcn1lem	|- ( ph -> G ~~> ( H ` A ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, A   k, F, y, z   k, G, x   ph, k, x, y, z   k, Z, y   k, H, x, y, z   k, M

Allowed substitution hints:   F( x)   G( y, z)   M( x, y, z)   W( x, y, z, k)   Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1lem.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climcn1lem.5	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climcn1lem.2	. . 3 |- ( ph -> F ~~> A )
4		climcl 10509	. . 3 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
6		climcn1lem.7	. . . 4 |- H : CC --> CC
7	6	ffvelrni 5381	. . 3 |- ( z e. CC -> ( H ` z ) e. CC )
8	7	adantl 271	. 2 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( H ` z ) e. CC )
9		climcn1lem.4	. 2 |- ( ph -> G e. W )
10		climcn1lem.8	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. CC ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( H ` A ) ) ) < x ) )
11	5, 10	sylan 277	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. CC ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( H ` A ) ) ) < x ) )
12		climcn1lem.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
13		climcn1lem.9	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )
14	1, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13	climcn1 10535	1 |- ( ph -> G ~~> ( H ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1287   e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   class class class wbr 3814   -->wf 4968   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   CCcc 7269   < clt 7443   - cmin 7574   ZZcz 8660   ZZ>=cuz 8928   RR+crp 9043   abscabs 10271   ~~> cli 10505

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-clim 10506

This theorem is referenced by:  climabs  10546  climcj  10547  climre  10548  climim  10549