ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcn1lem GIF version

Theorem climcn1lem 10703
Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1lem.2 (𝜑𝐹𝐴)
climcn1lem.4 (𝜑𝐺𝑊)
climcn1lem.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climcn1lem.7 𝐻:ℂ⟶ℂ
climcn1lem.8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
climcn1lem.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn1lem (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑘,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦   𝑘,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcn1lem.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcn1lem.2 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
4 climcl 10666 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climcn1lem.7 . . . 4 𝐻:ℂ⟶ℂ
76ffvelrni 5433 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
87adantl 271 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
9 climcn1lem.4 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
10 climcn1lem.8 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
115, 10sylan 277 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
12 climcn1lem.6 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 climcn1lem.9 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
141, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13climcn1 10693 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360   class class class wbr 3845  wf 5011  cfv 5015  (class class class)co 5652  cc 7346   < clt 7520  cmin 7651  cz 8748  cuz 9017  +crp 9132  abscabs 10426  cli 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-clim 10663
This theorem is referenced by:  climabs  10704  climcj  10705  climre  10706  climim  10707
  Copyright terms: Public domain W3C validator