ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcn1lem GIF version

Theorem climcn1lem 11275
Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1lem.2 (𝜑𝐹𝐴)
climcn1lem.4 (𝜑𝐺𝑊)
climcn1lem.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climcn1lem.7 𝐻:ℂ⟶ℂ
climcn1lem.8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
climcn1lem.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn1lem (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑘,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦   𝑘,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcn1lem.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcn1lem.2 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
4 climcl 11238 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climcn1lem.7 . . . 4 𝐻:ℂ⟶ℂ
76ffvelrni 5628 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
87adantl 275 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
9 climcn1lem.4 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
10 climcn1lem.8 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
115, 10sylan 281 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
12 climcn1lem.6 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 climcn1lem.9 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
141, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13climcn1 11264 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449   class class class wbr 3987  wf 5192  cfv 5196  (class class class)co 5851  cc 7765   < clt 7947  cmin 8083  cz 9205  cuz 9480  +crp 9603  abscabs 10954  cli 11234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-clim 11235
This theorem is referenced by:  climabs  11276  climcj  11277  climre  11278  climim  11279
  Copyright terms: Public domain W3C validator