Theorem climcn1lem 11884

Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1lem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climcn1lem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climcn1lem.7	⊢ 𝐻:ℂ⟶ℂ
climcn1lem.8	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
climcn1lem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climcn1lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐻‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑘,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦   𝑘,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1lem.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcn1lem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcn1lem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climcl 11847	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climcn1lem.7	. . . 4 ⊢ 𝐻:ℂ⟶ℂ
7	6	ffvelcdmi 5781	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐻‘𝑧) ∈ ℂ)
8	7	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑧) ∈ ℂ)
9		climcn1lem.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
10		climcn1lem.8	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
11	5, 10	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
12		climcn1lem.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		climcn1lem.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
14	1, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13	climcn1 11873	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐻‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030   < clt 8214   − cmin 8350  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ℝ⁺crp 9888  abscabs 11562   ⇝ cli 11843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-clim 11844

This theorem is referenced by:  climabs  11885  climcj  11886  climre  11887  climim  11888