ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcn1lem GIF version

Theorem climcn1lem 10531
Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1lem.2 (𝜑𝐹𝐴)
climcn1lem.4 (𝜑𝐺𝑊)
climcn1lem.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climcn1lem.7 𝐻:ℂ⟶ℂ
climcn1lem.8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
climcn1lem.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn1lem (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑘,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦   𝑘,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcn1lem.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcn1lem.2 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
4 climcl 10495 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climcn1lem.7 . . . 4 𝐻:ℂ⟶ℂ
76ffvelrni 5378 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
87adantl 271 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
9 climcn1lem.4 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
10 climcn1lem.8 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
115, 10sylan 277 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
12 climcn1lem.6 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 climcn1lem.9 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
141, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13climcn1 10521 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354   class class class wbr 3811  wf 4965  cfv 4969  (class class class)co 5591  cc 7251   < clt 7425  cmin 7556  cz 8646  cuz 8914  +crp 9029  abscabs 10257  cli 10491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-clim 10492
This theorem is referenced by:  climabs  10532  climcj  10533  climre  10534  climim  10535
  Copyright terms: Public domain W3C validator