Theorem climcn1 11819

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcn1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcn1.3	|- ( ph -> A e. B )
climcn1.4	|- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
climcn1.5	|- ( ph -> G ~~> A )
climcn1.6	|- ( ph -> H e. W )
climcn1.7	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
climcn1.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
climcn1.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcn1	|- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, A   B, k, z   k, G, y, z   k, H, x   k, F, x, y, z   ph, k, x, y, z   k, Z, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   G( x)   H( y, z)   M( x, y, z, k)   W( x, y, z, k)   Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
5		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
6		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G ~~> A )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> G ~~> A )
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 11799	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
10	2	uztrn2 9740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
12	11	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
13		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( z - A ) = ( ( G ` k ) - A ) )
14	13	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( z - A ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) )
15	14	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
16		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( G ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
17	16	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) )
18	17	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) )
19	18	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
20	15, 19	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
21	20	rspcva 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` k ) e. B /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
22	12, 21	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
24	10, 23	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
25	24	anassrs 400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
26	25	ralimdva 2597	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
27	26	reximdva 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
28	27	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
29	9, 28	mpid 42	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
30	29	rexlimdva 2648	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
32	1, 31	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
33	32	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
34		climcn1.6	. . 3 |- ( ph -> H e. W )
35		climcn1.9	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
36		fveq2 5627	. . . . 5 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
37	36	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` A ) e. CC ) )
38		climcn1.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
39	38	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
40		climcn1.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
41	37, 39, 40	rspcdva 2912	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
42	16	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC ) )
43	39	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
44	42, 43, 11	rspcdva 2912	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC )
45	2, 3, 34, 35, 41, 44	clim2c 11795	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( F ` A ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
46	33, 45	mpbird 167	1 |- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   < clt 8181   - cmin 8317   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   RR+crp 9849   abscabs 11508   ~~> cli 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-clim 11790

This theorem is referenced by:  climcn1lem  11830  climcncf  15258