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Theorem climcn1 11089
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
climcn1.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
climcn1.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn1.6  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
climcn1.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
climcn1.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
climcn1.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    x, k, y, z, A    B, k,
z    k, G, y, z   
k, H, x    k, F, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, Z, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    G( x)    H( y, z)    M( x, y, z, k)    W( x, y, z, k)    Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2 climcn1.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
5 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
7 climcn1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 11069 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
102uztrn2 9355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
11 climcn1.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
1211adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
13 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
z  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
1413fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
1514breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
16 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
1716oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) )  -  ( F `  A ) ) )
1817fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  A ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) ) )
1918breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2015, 19imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) ) )
2120rspcva 2787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2212, 21sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2322an32s 557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2410, 23sylan2 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2524anassrs 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2625ralimdva 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2726reximdva 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
2827ex 114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) ) )
299, 28mpid 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3029rexlimdva 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3130adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  A )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
321, 31mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
3332ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
34 climcn1.6 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
35 climcn1.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
36 fveq2 5421 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
3736eleq1d 2208 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  A )  e.  CC ) )
38 climcn1.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3938ralrimiva 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
40 climcn1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
4137, 39, 40rspcdva 2794 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
4216eleq1d 2208 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  ( G `  k
) )  e.  CC ) )
4339adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
4442, 43, 11rspcdva 2794 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  CC )
452, 3, 34, 35, 41, 44clim2c 11065 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( F `
 A )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
4633, 45mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630    < clt 7812    - cmin 7945   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   RR+crp 9453   abscabs 10781    ~~> cli 11059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-clim 11060
This theorem is referenced by:  climcn1lem  11100  climcncf  12754
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