ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imcn2 Unicode version

Theorem imcn2 11297
Description: The imaginary part function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
imcn2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, z   
y, A, z
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem imcn2
StepHypRef Expression
1 imf 10836 . . 3  |-  Im : CC
--> RR
2 ax-resscn 7881 . . 3  |-  RR  C_  CC
3 fss 5372 . . 3  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Im : CC --> CC )
41, 2, 3mp2an 426 . 2  |-  Im : CC
--> CC
5 imsub 10858 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Im `  (
z  -  A ) )  =  ( ( Im `  z )  -  ( Im `  A ) ) )
65fveq2d 5514 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
Im `  ( z  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) ) )
7 subcl 8133 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( z  -  A
)  e.  CC )
8 absimle 11064 . . . 4  |-  ( ( z  -  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( z  -  A
) ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  A ) ) )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
Im `  ( z  -  A ) ) )  <_  ( abs `  (
z  -  A ) ) )
106, 9eqbrtrrd 4024 . 2  |-  ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) )  <_  ( abs `  ( z  -  A
) ) )
114, 10cn1lem 11293 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   class class class wbr 4000   -->wf 5207   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   CCcc 7787   RRcr 7788    < clt 7969    <_ cle 7970    - cmin 8105   RR+crp 9627   Imcim 10821   abscabs 10977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979
This theorem is referenced by:  climim  11302  imcncf  13707
  Copyright terms: Public domain W3C validator