Theorem ovmpog 6156

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2284	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6151	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023

This theorem is referenced by:  ovmpo  6157  oav  6622  omv  6623  oeiv  6624  mapvalg  6827  pmvalg  6828  mulpipq2  7591  genipv  7729  genpelxp  7731  subval  8371  divvalap  8854  cnref1o  9885  modqval  10587  frecuzrdgrrn  10671  frec2uzrdg  10672  frecuzrdgrcl  10673  frecuzrdgsuc  10677  frecuzrdgrclt  10678  frecuzrdgg  10679  frecuzrdgsuctlem  10686  seq3val  10723  seqvalcd  10724  seqf  10727  seq3p1  10728  seqovcd  10730  seqp1cd  10733  exp3val  10804  bcval  11012  ccatfvalfi  11173  shftfvalg  11383  shftfval  11386  cnrecnv  11475  gcdval  12535  sqpweven  12752  2sqpwodd  12753  ennnfonelemp1  13032  nninfdclemcl  13074  nninfdclemp1  13076  ressvalsets  13152  imasex  13393  qusex  13413  mhmex  13550  releqgg  13812  eqgex  13813  isghm  13835  gsumfzfsumlemm  14607  cnfldui  14609  expghmap  14627  cnprcl2k  14936  xmetxp  15237  expcn  15299  cncfval  15302  dvply2g  15496  rpcxpef  15624  rplogbval  15675  mpodvdsmulf1o  15720  fsumdvdsmul  15721  clwwlknon  16286  depindlem1  16351  gfsumval  16707