Theorem ovmpog 6079

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2257	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6074	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   e. cmpo 5945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948

This theorem is referenced by:  ovmpo  6080  oav  6539  omv  6540  oeiv  6541  mapvalg  6744  pmvalg  6745  mulpipq2  7483  genipv  7621  genpelxp  7623  subval  8263  divvalap  8746  cnref1o  9771  modqval  10467  frecuzrdgrrn  10551  frec2uzrdg  10552  frecuzrdgrcl  10553  frecuzrdgsuc  10557  frecuzrdgrclt  10558  frecuzrdgg  10559  frecuzrdgsuctlem  10566  seq3val  10603  seqvalcd  10604  seqf  10607  seq3p1  10608  seqovcd  10610  seqp1cd  10613  exp3val  10684  bcval  10892  ccatfvalfi  11046  shftfvalg  11100  shftfval  11103  cnrecnv  11192  gcdval  12251  sqpweven  12468  2sqpwodd  12469  ennnfonelemp1  12748  nninfdclemcl  12790  nninfdclemp1  12792  ressvalsets  12867  imasex  13108  qusex  13128  mhmex  13265  releqgg  13527  eqgex  13528  isghm  13550  gsumfzfsumlemm  14320  cnfldui  14322  expghmap  14340  cnprcl2k  14649  xmetxp  14950  expcn  15012  cncfval  15015  dvply2g  15209  rpcxpef  15337  rplogbval  15388  mpodvdsmulf1o  15433  fsumdvdsmul  15434