Theorem ovmpog 6054

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2246	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6049	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924

This theorem is referenced by:  ovmpo  6055  oav  6509  omv  6510  oeiv  6511  mapvalg  6714  pmvalg  6715  mulpipq2  7433  genipv  7571  genpelxp  7573  subval  8213  divvalap  8695  cnref1o  9719  modqval  10398  frecuzrdgrrn  10482  frec2uzrdg  10483  frecuzrdgrcl  10484  frecuzrdgsuc  10488  frecuzrdgrclt  10489  frecuzrdgg  10490  frecuzrdgsuctlem  10497  seq3val  10534  seqvalcd  10535  seqf  10538  seq3p1  10539  seqovcd  10541  seqp1cd  10544  exp3val  10615  bcval  10823  shftfvalg  10965  shftfval  10968  cnrecnv  11057  gcdval  12099  sqpweven  12316  2sqpwodd  12317  ennnfonelemp1  12566  nninfdclemcl  12608  nninfdclemp1  12610  ressvalsets  12685  imasex  12891  qusex  12911  mhmex  13037  releqgg  13293  eqgex  13294  isghm  13316  gsumfzfsumlemm  14086  cnfldui  14088  expghmap  14106  cnprcl2k  14385  xmetxp  14686  expcn  14748  cncfval  14751  rpcxpef  15070  rplogbval  15118