Theorem ovmpog 6223

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2291	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6218	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090

This theorem is used by:  ovmpo  6224  oav  6727  omv  6728  oeiv  6729  mapvalg  6932  pmvalg  6933  mulpipq2  7738  genipv  7876  genpelxp  7878  subval  8519  divvalap  9006  cnref1o  10061  modqval  10774  frecuzrdgrrn  10858  frec2uzrdg  10859  frecuzrdgrcl  10860  frecuzrdgsuc  10864  frecuzrdgrclt  10865  frecuzrdgg  10866  frecuzrdgsuctlem  10873  seq3val  10910  seqvalcd  10911  seqf  10914  seq3p1  10915  seqovcd  10917  seqp1cd  10920  exp3val  10991  bcval  11201  ccatfvalfi  11374  shftfvalg  11597  shftfval  11600  cnrecnv  11690  gcdval  12752  sqpweven  12971  2sqpwodd  12972  ballotfilemgval  13316  ennnfonelemp1  13346  nninfdclemcl  13388  nninfdclemp1  13390  ressvalsets  13467  imasex  13675  qusex  13695  mhmex  13818  releqgg  14072  eqgex  14073  isghm  14095  gsumvalfi  14201  gsumfsum  14972  cnfldui  14973  expghmap  14991  cnprcl2k  15356  xmetxp  15657  expcn  15719  cncfval  15722  dvply2g  15916  rpcxpef  16049  rplogbval  16100  zprmlogbaplem3  16136  mpodvdsmulf1o  16185  fsumdvdsmul  16186  clwwlknon  16768  depindlem1  16845