Theorem ovmpog 6197

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2287	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6192	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6059   e. cmpo 6061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-setind 4665

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064

This theorem is referenced by:  ovmpo  6198  oav  6701  omv  6702  oeiv  6703  mapvalg  6906  pmvalg  6907  mulpipq2  7703  genipv  7841  genpelxp  7843  subval  8483  divvalap  8969  cnref1o  10005  modqval  10714  frecuzrdgrrn  10798  frec2uzrdg  10799  frecuzrdgrcl  10800  frecuzrdgsuc  10804  frecuzrdgrclt  10805  frecuzrdgg  10806  frecuzrdgsuctlem  10813  seq3val  10850  seqvalcd  10851  seqf  10854  seq3p1  10855  seqovcd  10857  seqp1cd  10860  exp3val  10931  bcval  11140  ccatfvalfi  11309  shftfvalg  11532  shftfval  11535  cnrecnv  11625  gcdval  12685  sqpweven  12902  2sqpwodd  12903  ballotfilemgval  13216  ennnfonelemp1  13246  nninfdclemcl  13288  nninfdclemp1  13290  ressvalsets  13366  imasex  13574  qusex  13594  mhmex  13722  releqgg  13978  eqgex  13979  isghm  14001  gfsumval  14107  gsumfzfsumlemm  14866  cnfldui  14868  expghmap  14886  cnprcl2k  15202  xmetxp  15503  expcn  15565  cncfval  15568  dvply2g  15762  rpcxpef  15890  rplogbval  15941  mpodvdsmulf1o  15989  fsumdvdsmul  15990  clwwlknon  16555  depindlem1  16632