Theorem ovmpog 6080

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2258	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6075	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949

This theorem is referenced by:  ovmpo  6081  oav  6540  omv  6541  oeiv  6542  mapvalg  6745  pmvalg  6746  mulpipq2  7484  genipv  7622  genpelxp  7624  subval  8264  divvalap  8747  cnref1o  9772  modqval  10469  frecuzrdgrrn  10553  frec2uzrdg  10554  frecuzrdgrcl  10555  frecuzrdgsuc  10559  frecuzrdgrclt  10560  frecuzrdgg  10561  frecuzrdgsuctlem  10568  seq3val  10605  seqvalcd  10606  seqf  10609  seq3p1  10610  seqovcd  10612  seqp1cd  10615  exp3val  10686  bcval  10894  ccatfvalfi  11048  shftfvalg  11129  shftfval  11132  cnrecnv  11221  gcdval  12280  sqpweven  12497  2sqpwodd  12498  ennnfonelemp1  12777  nninfdclemcl  12819  nninfdclemp1  12821  ressvalsets  12896  imasex  13137  qusex  13157  mhmex  13294  releqgg  13556  eqgex  13557  isghm  13579  gsumfzfsumlemm  14349  cnfldui  14351  expghmap  14369  cnprcl2k  14678  xmetxp  14979  expcn  15041  cncfval  15044  dvply2g  15238  rpcxpef  15366  rplogbval  15417  mpodvdsmulf1o  15462  fsumdvdsmul  15463