Theorem ovmpog 6155

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2284	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6150	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022

This theorem is referenced by:  ovmpo  6156  oav  6621  omv  6622  oeiv  6623  mapvalg  6826  pmvalg  6827  mulpipq2  7590  genipv  7728  genpelxp  7730  subval  8370  divvalap  8853  cnref1o  9884  modqval  10585  frecuzrdgrrn  10669  frec2uzrdg  10670  frecuzrdgrcl  10671  frecuzrdgsuc  10675  frecuzrdgrclt  10676  frecuzrdgg  10677  frecuzrdgsuctlem  10684  seq3val  10721  seqvalcd  10722  seqf  10725  seq3p1  10726  seqovcd  10728  seqp1cd  10731  exp3val  10802  bcval  11010  ccatfvalfi  11168  shftfvalg  11378  shftfval  11381  cnrecnv  11470  gcdval  12529  sqpweven  12746  2sqpwodd  12747  ennnfonelemp1  13026  nninfdclemcl  13068  nninfdclemp1  13070  ressvalsets  13146  imasex  13387  qusex  13407  mhmex  13544  releqgg  13806  eqgex  13807  isghm  13829  gsumfzfsumlemm  14600  cnfldui  14602  expghmap  14620  cnprcl2k  14929  xmetxp  15230  expcn  15292  cncfval  15295  dvply2g  15489  rpcxpef  15617  rplogbval  15668  mpodvdsmulf1o  15713  fsumdvdsmul  15714  clwwlknon  16279  gfsumval  16680