Theorem ovmpog 6223

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpog.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpog.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
2		ovmpog.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
3	1, 2	sylan9eq 2291	. 2 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> R = S )
4		ovmpog.3	. 2 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	3, 4	ovmpoga 6218	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. H ) -> ( A F B ) = S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090

This theorem is used by:  ovmpo  6224  oav  6727  omv  6728  oeiv  6729  mapvalg  6932  pmvalg  6933  mulpipq2  7738  genipv  7876  genpelxp  7878  subval  8518  divvalap  9004  cnref1o  10051  modqval  10761  frecuzrdgrrn  10845  frec2uzrdg  10846  frecuzrdgrcl  10847  frecuzrdgsuc  10851  frecuzrdgrclt  10852  frecuzrdgg  10853  frecuzrdgsuctlem  10860  seq3val  10897  seqvalcd  10898  seqf  10901  seq3p1  10902  seqovcd  10904  seqp1cd  10907  exp3val  10978  bcval  11187  ccatfvalfi  11360  shftfvalg  11583  shftfval  11586  cnrecnv  11676  gcdval  12736  sqpweven  12953  2sqpwodd  12954  ballotfilemgval  13267  ennnfonelemp1  13297  nninfdclemcl  13339  nninfdclemp1  13341  ressvalsets  13418  imasex  13626  qusex  13646  mhmex  13769  releqgg  14023  eqgex  14024  isghm  14046  gsumvalfi  14152  gsumfsum  14923  cnfldui  14924  expghmap  14942  cnprcl2k  15307  xmetxp  15608  expcn  15670  cncfval  15673  dvply2g  15867  rpcxpef  15996  rplogbval  16047  mpodvdsmulf1o  16104  fsumdvdsmul  16105  clwwlknon  16670  depindlem1  16747