Theorem cntzsubg 14165

Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrec.b	|- B = ( Base ` M )
cntzrec.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
cntzsubg	|- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) )

Proof of Theorem cntzsubg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13865	. . 3 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
2		cntzrec.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
3		cntzrec.z	. . . 4 |- Z = (Cntz ` M )
4	2, 3	cntzsubm 14164	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )
5	1, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )
6		simpll 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> M e. Grp )
7	2, 3	cntzssv 14154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z ` S ) C_ B
8		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
9	7, 8	sselid 3246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> x e. B )
10		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
11	2, 10	grpinvcl 13906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. B )
12	6, 9, 11	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. B )
13		ssel2 3243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ B /\ y e. S ) -> y e. B )
14	13	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> y e. B )
15		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
16	2, 15	grpcl 13866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
17	6, 9, 12, 16	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
18	2, 15	grpass 13867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. B /\ y e. B /\ ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
19	6, 12, 14, 17, 18	syl13anc 1280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
20	2, 15	grpass 13867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Grp /\ ( y e. B /\ x e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
21	6, 14, 9, 12, 20	syl13anc 1280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
22	21	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
23	19, 22	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
24	15, 3	cntzi 14156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
26	25	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
27	26	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
28	23, 27	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
29	2, 15	grpcl 13866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. Grp /\ y e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) -> ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
30	6, 14, 12, 29	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
31	2, 15	grpass 13867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. B /\ x e. B /\ ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
32	6, 12, 9, 30, 31	syl13anc 1280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
33	2, 15	grpass 13867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
34	6, 9, 14, 12, 33	syl13anc 1280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
35	34	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
36	32, 35	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
37	28, 36	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
38		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
39	2, 15, 38, 10	grprinv 13909	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( 0g ` M ) )
40	6, 9, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( 0g ` M ) )
41	40	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
42	2, 15	grpcl 13866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) e. B )
43	6, 12, 14, 42	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) e. B )
44	2, 15, 38	grprid 13890	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) e. B ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) )
45	6, 43, 44	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) )
46	41, 45	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) )
47	2, 15, 38, 10	grplinv 13908	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) = ( 0g ` M ) )
48	6, 9, 47	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) = ( 0g ` M ) )
49	48	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
50	2, 15, 38	grplid 13889	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Grp /\ ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
51	6, 30, 50	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
52	49, 51	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
53	37, 46, 52	3eqtr3d 2279	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
54	53	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
55	54	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> A. y e. S ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
56		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> S C_ B )
57		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> M e. Grp )
58		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
59	7, 58	sselid 3246	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> x e. B )
60	57, 59, 11	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. B )
61	2, 15, 3	cntzel 14149	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. y e. S ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
62	56, 60, 61	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. y e. S ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
63	55, 62	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) )
64	63	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> A. x e. ( Z ` S ) ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) )
65	10	issubg3 14048	. . 3 |- ( M e. Grp -> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) <-> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) /\ A. x e. ( Z ` S ) ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) ) )
66	65	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) <-> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) /\ A. x e. ( Z ` S ) ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) ) )
67	5, 64, 66	mpbir2and 957	1 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   0gc0g 13663   Mndcmnd 13782  SubMndcsubmnd 13818   Grpcgrp 13858   invgcminusg 13859  SubGrpcsubg 14023  Cntzccntz 14140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-submnd 13820  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-subg 14026  df-cntz 14142

This theorem is used by:  cntrnsg  14170