Theorem nsgsubg 13616

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2206	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 13613	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. S <-> ( y ( +g ` G ) x ) e. S ) ) )
4	3	simplbi 274	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2177   A.wral 2485   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   +g cplusg 12984  SubGrpcsubg 13578  NrmSGrpcnsg 13579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-subg 13581  df-nsg 13582

This theorem is referenced by:  nsgconj  13617  isnsg3  13618  trivnsgd  13628  eqgcpbl  13639  qusgrp  13643  quseccl  13644  qusadd  13645  qus0  13646  qusinv  13647  qussub  13648  ecqusaddcl  13650  ghmnsgima  13679  ghmnsgpreima  13680  conjnsg  13692  qusghm  13693