Theorem crngoppr 13244

Description: In a commutative ring, the opposite ring is equivalent to the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	|- B = ( Base ` R )
opprval.2	|- .x. = ( .r ` R )
opprval.3	|- O = (oppr ` R )
opprmulfval.4	|- .xb = ( .r ` O )

Assertion

Ref	Expression
crngoppr	|- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X .xb Y ) )

Proof of Theorem crngoppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprval.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		opprval.2	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
3	1, 2	crngcom 13197	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( Y .x. X ) )
4		opprval.3	. . 3 |- O = (oppr ` R )
5		opprmulfval.4	. . 3 |- .xb = ( .r ` O )
6	1, 2, 4, 5	opprmulg 13243	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .xb Y ) = ( Y .x. X ) )
7	3, 6	eqtr4d 2213	1 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X .xb Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Basecbs 12462   .rcmulr 12537   CRingccrg 13180  opp_rcoppr 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-tpos 6246  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-cmn 13090  df-mgp 13131  df-cring 13182  df-oppr 13240

This theorem is referenced by:  crngunit  13280