ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numadd Unicode version

Theorem numadd 9342
Description: Add two decimal integers  M and  N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1  |-  T  e. 
NN0
numma.2  |-  A  e. 
NN0
numma.3  |-  B  e. 
NN0
numma.4  |-  C  e. 
NN0
numma.5  |-  D  e. 
NN0
numma.6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
numma.7  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
numadd.8  |-  ( A  +  C )  =  E
numadd.9  |-  ( B  +  D )  =  F
Assertion
Ref Expression
numadd  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)

Proof of Theorem numadd
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
2 numma.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
NN0
3 numma.2 . . . . . . 7  |-  A  e. 
NN0
4 numma.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 9308 . . . . . 6  |-  ( ( T  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2230 . . . . 5  |-  M  e. 
NN0
76nn0cni 9103 . . . 4  |-  M  e.  CC
87mulid1i 7881 . . 3  |-  ( M  x.  1 )  =  M
98oveq1i 5835 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( M  +  N
)
10 numma.4 . . 3  |-  C  e. 
NN0
11 numma.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
12 numma.7 . . 3  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
13 1nn0 9107 . . 3  |-  1  e.  NN0
143nn0cni 9103 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
1514mulid1i 7881 . . . . 5  |-  ( A  x.  1 )  =  A
1615oveq1i 5835 . . . 4  |-  ( ( A  x.  1 )  +  C )  =  ( A  +  C
)
17 numadd.8 . . . 4  |-  ( A  +  C )  =  E
1816, 17eqtri 2178 . . 3  |-  ( ( A  x.  1 )  +  C )  =  E
194nn0cni 9103 . . . . . 6  |-  B  e.  CC
2019mulid1i 7881 . . . . 5  |-  ( B  x.  1 )  =  B
2120oveq1i 5835 . . . 4  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  ( B  +  D
)
22 numadd.9 . . . 4  |-  ( B  +  D )  =  F
2321, 22eqtri 2178 . . 3  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  F
242, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23numma 9339 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
259, 24eqtr3i 2180 1  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335    e. wcel 2128  (class class class)co 5825   1c1 7734    + caddc 7736    x. cmul 7738   NN0cn0 9091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-sub 8049  df-inn 8835  df-n0 9092
This theorem is referenced by:  decadd  9349
  Copyright terms: Public domain W3C validator