Theorem numadd 9585

Description: Add two decimal integers M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	|- T e. NN0
numma.2	|- A e. NN0
numma.3	|- B e. NN0
numma.4	|- C e. NN0
numma.5	|- D e. NN0
numma.6	|- M = ( ( T x. A ) + B )
numma.7	|- N = ( ( T x. C ) + D )
numadd.8	|- ( A + C ) = E
numadd.9	|- ( B + D ) = F

Assertion

Ref	Expression
numadd	|- ( M + N ) = ( ( T x. E ) + F )

Proof of Theorem numadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 |- M = ( ( T x. A ) + B )
2		numma.1	. . . . . . 7 |- T e. NN0
3		numma.2	. . . . . . 7 |- A e. NN0
4		numma.3	. . . . . . 7 |- B e. NN0
5	2, 3, 4	numcl 9551	. . . . . 6 |- ( ( T x. A ) + B ) e. NN0
6	1, 5	eqeltri 2280	. . . . 5 |- M e. NN0
7	6	nn0cni 9342	. . . 4 |- M e. CC
8	7	mulridi 8109	. . 3 |- ( M x. 1 ) = M
9	8	oveq1i 5977	. 2 |- ( ( M x. 1 ) + N ) = ( M + N )
10		numma.4	. . 3 |- C e. NN0
11		numma.5	. . 3 |- D e. NN0
12		numma.7	. . 3 |- N = ( ( T x. C ) + D )
13		1nn0 9346	. . 3 |- 1 e. NN0
14	3	nn0cni 9342	. . . . . 6 |- A e. CC
15	14	mulridi 8109	. . . . 5 |- ( A x. 1 ) = A
16	15	oveq1i 5977	. . . 4 |- ( ( A x. 1 ) + C ) = ( A + C )
17		numadd.8	. . . 4 |- ( A + C ) = E
18	16, 17	eqtri 2228	. . 3 |- ( ( A x. 1 ) + C ) = E
19	4	nn0cni 9342	. . . . . 6 |- B e. CC
20	19	mulridi 8109	. . . . 5 |- ( B x. 1 ) = B
21	20	oveq1i 5977	. . . 4 |- ( ( B x. 1 ) + D ) = ( B + D )
22		numadd.9	. . . 4 |- ( B + D ) = F
23	21, 22	eqtri 2228	. . 3 |- ( ( B x. 1 ) + D ) = F
24	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23	numma 9582	. 2 |- ( ( M x. 1 ) + N ) = ( ( T x. E ) + F )
25	9, 24	eqtr3i 2230	1 |- ( M + N ) = ( ( T x. E ) + F )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  decadd  9592