Theorem decadd 9847

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decadd.e	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
decadd.f	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9810	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 9792	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2259	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 9792	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2259	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decadd.e	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
13		decadd.f	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 9840	. 2 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
15		dfdec10 9792	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
16	14, 15	eqtr4i 2262	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191  ℕ₀cn0 9575  ;cdc 9789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790

This theorem is used by:  decaddm10  9852  decaddi  9853  10p10e20  9888  dec5dvds2  13222  2exp16  13247  37prm  13265  43prm  13266  317prm  13270  631prm  13271  1259lem2  13273  1259lem3  13274  1259lem4  13275  log2ublem3  16235  log2ublog2  16236  1kp2ke3k  16955