Theorem decrmanc 9816

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decrmanc.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decrmanc.e	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
decrmanc.f	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decrmanc	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmanc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decrmanc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 9561	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decrmanc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decrmanc.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 9781	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7		decrmanc.p	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8	1, 7	nn0mulcli 9584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 9558	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
10	9	addridi 8462	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
11		decrmanc.e	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
12	10, 11	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐸
13		decrmanc.f	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13	decma 9810	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  0cc0 8173   + caddc 8176   · cmul 8178  ℕ₀cn0 9546  ;cdc 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761

This theorem is referenced by:  log2ublog2  16069