Theorem decrmanc 9764

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decrmanc.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decrmanc.e	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
decrmanc.f	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decrmanc	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmanc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decrmanc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 9510	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decrmanc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decrmanc.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 9729	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7		decrmanc.p	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8	1, 7	nn0mulcli 9533	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 9507	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
10	9	addridi 8414	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
11		decrmanc.e	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐸
12	10, 11	eqtri 2253	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐸
13		decrmanc.f	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13	decma 9758	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  0cc0 8126   + caddc 8129   · cmul 8131  ℕ₀cn0 9495  ;cdc 9708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-dec 9709

This theorem is referenced by: (None)