ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decrmanc GIF version

Theorem decrmanc 9436
Description: Perform a multiply-add of two numerals ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (no carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decrmanc.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decrmanc.n ๐‘ โˆˆ โ„•0
decrmanc.m ๐‘€ = ๐ด๐ต
decrmanc.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
decrmanc.e (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ธ
decrmanc.f ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐น
Assertion
Ref Expression
decrmanc ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น

Proof of Theorem decrmanc
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 decrmanc.b . 2 ๐ต โˆˆ โ„•0
3 0nn0 9187 . 2 0 โˆˆ โ„•0
4 decrmanc.n . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•0
5 decrmanc.m . 2 ๐‘€ = ๐ด๐ต
64dec0h 9401 . 2 ๐‘ = 0๐‘
7 decrmanc.p . 2 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
81, 7nn0mulcli 9210 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0
98nn0cni 9184 . . . 4 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
109addid1i 8095 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + 0) = (๐ด ยท ๐‘ƒ)
11 decrmanc.e . . 3 (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ธ
1210, 11eqtri 2198 . 2 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + 0) = ๐ธ
13 decrmanc.f . 2 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐น
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13decma 9430 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5872  0cc0 7808   + caddc 7811   ยท cmul 7813  โ„•0cn0 9172  cdc 9380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-sub 8126  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-9 8981  df-n0 9173  df-dec 9381
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator