Theorem dfioo2 9918

Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfioo2	⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦

Proof of Theorem dfioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 9915	. . 3 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 5345	. . 3 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3		fnovim 5958	. . 3 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦)))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦))
5		iooval2 9859	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})
6	5	mpoeq3ia 5915	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})
7	4, 6	eqtri 2191	1 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348  {crab 2452  𝒫 cpw 3564   class class class wbr 3987   × cxp 4607   Fn wfn 5191  ⟶wf 5192  (class class class)co 5850   ∈ cmpo 5852  ℝcr 7760  ℝ^*cxr 7940   < clt 7941  (,)cioo 9832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-ioo 9836

This theorem is referenced by: (None)