Theorem dichmul0orlem1 16924

Description: Lemma for dichmul0or 16931. (Contributed by Matthew House, 29-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dichmul0orlem1.1	|- ( ph -> A e. RR )
dichmul0orlem1.2	|- ( ph -> B e. RR )
dichmul0orlem1.3	|- ( ph -> ( A x. B ) = 0 )
dichmul0orlem1.4	|- ( ph -> 0 <_ A )
dichmul0orlem1.5	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
dichmul0orlem1	|- ( ph -> A = 0 )

Proof of Theorem dichmul0orlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dichmul0orlem1.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2	1, 1	remulcld 8357	. . 3 |- ( ph -> ( A x. A ) e. RR )
3		0red 8328	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
4		dichmul0orlem1.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
5		dichmul0orlem1.4	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ A )
6		dichmul0orlem1.5	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
7	1, 4, 1, 5, 6	lemul2ad 9273	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. A ) <_ ( A x. B ) )
8		dichmul0orlem1.3	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. B ) = 0 )
9	7, 8	breqtrd 4156	. . 3 |- ( ph -> ( A x. A ) <_ 0 )
10	1	msqge0d 8949	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( A x. A ) )
11	2, 3, 9, 10	letrid 8444	. 2 |- ( ph -> ( A x. A ) = 0 )
12	1	recnd 8355	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
13		msq0 9000	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( A x. A ) = 0 <-> A = 0 ) )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. A ) = 0 <-> A = 0 ) )
15	11, 14	mpbid 147	1 |- ( ph -> A = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8178   RRcr 8179   0cc0 8180   x. cmul 8185   <_ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913

This theorem is used by:  dichmul0orlem2  16925