Theorem lemul2ad 8464

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
divgt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )
lemul1ad.3	|- ( ph -> C e. RR )
lemul1ad.4	|- ( ph -> 0 <_ C )
lemul1ad.5	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	|- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		divgt0d.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lemul1ad.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
4		lemul1ad.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 301	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6		lemul1ad.5	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
7		lemul2a 8383	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1178	1 |- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1439   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668   RRcr 7412   0cc0 7413   x. cmul 7418   <_ cle 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122

This theorem is referenced by:  mulle0r  8468  flqmulnn0  9769  leexp2r  10072  cvgratnnlemfm  10986  efcllemp  11011