Theorem eltx 13844

Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltx	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑆 ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑦,𝐽   𝐾,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑝,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑝)

Proof of Theorem eltx

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2	1	txval 13840	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑊) → (𝐽 ×t 𝐾) = (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
3	2	eleq2d 2247	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ↔ 𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)))))
4	1	txbasex 13842	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑊) → ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V)
5		eltg2b 13639	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V → (𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑆)))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑆)))
7		vex 2742	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 2742	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	xpex 4743	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 × 𝑦) ∈ V
10	9	rgen2w 2533	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝑥 × 𝑦) ∈ V
11		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))
12		eleq2 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 × 𝑦) → (𝑝 ∈ 𝑧 ↔ 𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦)))
13		sseq1 3180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 × 𝑦) → (𝑧 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆))
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 × 𝑦) → ((𝑝 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑆) ↔ (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
15	11, 14	rexrnmpo 5992	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝑥 × 𝑦) ∈ V → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆))
17	16	ralbii 2483	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑆 ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆))
18	6, 17	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑆 ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
19	3, 18	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑆 ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131   × cxp 4626  ran crn 4629  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  topGenctg 12708   ×_t ctx 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-topgen 12714  df-tx 13838

This theorem is referenced by:  txdis  13862  txdis1cn  13863