Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltx GIF version

Theorem eltx 12458
 Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltx ((𝐽𝑉𝐾𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑝𝑆𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑦,𝐽   𝐾,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑝,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑝)

Proof of Theorem eltx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . . 4 ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))
21txval 12454 . . 3 ((𝐽𝑉𝐾𝑊) → (𝐽 ×t 𝐾) = (topGen‘ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))))
32eleq2d 2210 . 2 ((𝐽𝑉𝐾𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ↔ 𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)))))
41txbasex 12456 . . . 4 ((𝐽𝑉𝐾𝑊) → ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V)
5 eltg2b 12253 . . . 4 (ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ∈ V → (𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ↔ ∀𝑝𝑆𝑧 ∈ ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝𝑧𝑧𝑆)))
64, 5syl 14 . . 3 ((𝐽𝑉𝐾𝑊) → (𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ↔ ∀𝑝𝑆𝑧 ∈ ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝𝑧𝑧𝑆)))
7 vex 2690 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
8 vex 2690 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
97, 8xpex 4658 . . . . . 6 (𝑥 × 𝑦) ∈ V
109rgen2w 2489 . . . . 5 𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑥 × 𝑦) ∈ V
11 eqid 2140 . . . . . 6 (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))
12 eleq2 2204 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥 × 𝑦) → (𝑝𝑧𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦)))
13 sseq1 3121 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥 × 𝑦) → (𝑧𝑆 ↔ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆))
1412, 13anbi12d 465 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥 × 𝑦) → ((𝑝𝑧𝑧𝑆) ↔ (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
1511, 14rexrnmpo 5890 . . . . 5 (∀𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑥 × 𝑦) ∈ V → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝𝑧𝑧𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
1610, 15ax-mp 5 . . . 4 (∃𝑧 ∈ ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝𝑧𝑧𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆))
1716ralbii 2442 . . 3 (∀𝑝𝑆𝑧 ∈ ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))(𝑝𝑧𝑧𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆))
186, 17syl6bb 195 . 2 ((𝐽𝑉𝐾𝑊) → (𝑆 ∈ (topGen‘ran (𝑥𝐽, 𝑦𝐾 ↦ (𝑥 × 𝑦))) ↔ ∀𝑝𝑆𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
193, 18bitrd 187 1 ((𝐽𝑉𝐾𝑊) → (𝑆 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑝𝑆𝑥𝐽𝑦𝐾 (𝑝 ∈ (𝑥 × 𝑦) ∧ (𝑥 × 𝑦) ⊆ 𝑆)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  Vcvv 2687   ⊆ wss 3072   × cxp 4541  ran crn 4544  ‘cfv 5127  (class class class)co 5778   ∈ cmpo 5780  topGenctg 12165   ×t ctx 12451 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-topgen 12171  df-tx 12452 This theorem is referenced by:  txdis  12476  txdis1cn  12477
 Copyright terms: Public domain W3C validator