Theorem eluzelre 9949

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9948	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9780	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380   RRcr 8185   ZZ>=cuz 9938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8508  df-z 9657  df-uz 9939

This theorem is used by:  eluzelcn  9950  fzspl  10494  fzouzdisj  10607  fzoun  10608  eluzgtdifelfzo  10633  infssuzex  10684  infssuzledc  10685  rebtwn2zlemstep  10705  fldiv4lem1div2uz2  10763  m1modge3gt1  10830  bernneq3  11122  hashfzp1  11288  seq3coll  11317  sumsnf  12202  isprm5  12947  dfphi2  13028  pclemub  13096  pockthg  13166  prmlem1  13252  prmlem2  13264  gzsumfzval  13771  logbrec  16208  logbleb  16209  logbgcd1irr  16215  chtqub  16308  bpos1lem  16321  bpos1  16322  gausslemma2dlem4  16400