Theorem eluzelre 9882

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9881	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9718	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5357   RRcr 8142   ZZ>=cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-neg 8463  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9883  fzspl  10425  fzouzdisj  10538  fzoun  10539  eluzgtdifelfzo  10564  infssuzex  10615  infssuzledc  10616  rebtwn2zlemstep  10636  fldiv4lem1div2uz2  10690  m1modge3gt1  10757  bernneq3  11049  hashfzp1  11214  seq3coll  11239  sumsnf  12120  isprm5  12864  dfphi2  12942  pclemub  13010  pockthg  13080  gsumfzval  13688  logbrec  15937  logbleb  15938  logbgcd1irr  15944  gausslemma2dlem4  16049