Theorem eluzelre 9611

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9610	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9448	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5258   RRcr 7878   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9612  fzouzdisj  10256  eluzgtdifelfzo  10273  infssuzex  10323  infssuzledc  10324  rebtwn2zlemstep  10342  fldiv4lem1div2uz2  10396  m1modge3gt1  10463  bernneq3  10754  hashfzp1  10916  seq3coll  10934  sumsnf  11574  isprm5  12310  dfphi2  12388  pclemub  12456  pockthg  12526  gsumfzval  13034  logbrec  15196  logbleb  15197  logbgcd1irr  15203  gausslemma2dlem4  15305