Theorem eluzelre 9863

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9862	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9699	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   ` cfv 5351   RRcr 8125   ZZ>=cuz 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-neg 8446  df-z 9577  df-uz 9853

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9864  fzouzdisj  10515  fzoun  10516  eluzgtdifelfzo  10541  infssuzex  10592  infssuzledc  10593  rebtwn2zlemstep  10611  fldiv4lem1div2uz2  10665  m1modge3gt1  10732  bernneq3  11023  hashfzp1  11187  seq3coll  11210  sumsnf  12091  isprm5  12835  dfphi2  12913  pclemub  12981  pockthg  13051  gsumfzval  13596  logbrec  15817  logbleb  15818  logbgcd1irr  15824  gausslemma2dlem4  15929