Theorem eluzelre 9749

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9748	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9585	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5321   RRcr 8014   ZZ>=cuz 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-ov 6013  df-neg 8336  df-z 9463  df-uz 9739

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9750  fzouzdisj  10395  fzoun  10396  eluzgtdifelfzo  10420  infssuzex  10470  infssuzledc  10471  rebtwn2zlemstep  10489  fldiv4lem1div2uz2  10543  m1modge3gt1  10610  bernneq3  10901  hashfzp1  11064  seq3coll  11082  sumsnf  11941  isprm5  12685  dfphi2  12763  pclemub  12831  pockthg  12901  gsumfzval  13445  logbrec  15655  logbleb  15656  logbgcd1irr  15662  gausslemma2dlem4  15764