Theorem eluzelre 9759

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9758	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9595	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5324   RRcr 8024   ZZ>=cuz 9748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-neg 8346  df-z 9473  df-uz 9749

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9760  fzouzdisj  10410  fzoun  10411  eluzgtdifelfzo  10435  infssuzex  10486  infssuzledc  10487  rebtwn2zlemstep  10505  fldiv4lem1div2uz2  10559  m1modge3gt1  10626  bernneq3  10917  hashfzp1  11081  seq3coll  11099  sumsnf  11963  isprm5  12707  dfphi2  12785  pclemub  12853  pockthg  12923  gsumfzval  13467  logbrec  15677  logbleb  15678  logbgcd1irr  15684  gausslemma2dlem4  15786