Theorem eluzelre 9948

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9947	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9779	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380   RRcr 8184   ZZ>=cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  eluzelcn  9949  fzspl  10493  fzouzdisj  10606  fzoun  10607  eluzgtdifelfzo  10632  infssuzex  10683  infssuzledc  10684  rebtwn2zlemstep  10704  fldiv4lem1div2uz2  10762  m1modge3gt1  10829  bernneq3  11121  hashfzp1  11287  seq3coll  11316  sumsnf  12201  isprm5  12946  dfphi2  13027  pclemub  13095  pockthg  13165  prmlem1  13251  prmlem2  13263  gzsumfzval  13770  logbrec  16196  logbleb  16197  logbgcd1irr  16203  chtqub  16296  bpos1lem  16309  bpos1  16310  gausslemma2dlem4  16388