Theorem eluzelre 9720

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9719	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9557	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5314   RRcr 7986   ZZ>=cuz 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-ov 5997  df-neg 8308  df-z 9435  df-uz 9711

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9721  fzouzdisj  10366  fzoun  10367  eluzgtdifelfzo  10390  infssuzex  10440  infssuzledc  10441  rebtwn2zlemstep  10459  fldiv4lem1div2uz2  10513  m1modge3gt1  10580  bernneq3  10871  hashfzp1  11033  seq3coll  11051  sumsnf  11906  isprm5  12650  dfphi2  12728  pclemub  12796  pockthg  12866  gsumfzval  13410  logbrec  15619  logbleb  15620  logbgcd1irr  15626  gausslemma2dlem4  15728