Theorem eluzelre 9809

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9808	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9645	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5333   RRcr 8074   ZZ>=cuz 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-neg 8396  df-z 9523  df-uz 9799

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9810  fzouzdisj  10460  fzoun  10461  eluzgtdifelfzo  10486  infssuzex  10537  infssuzledc  10538  rebtwn2zlemstep  10556  fldiv4lem1div2uz2  10610  m1modge3gt1  10677  bernneq3  10968  hashfzp1  11132  seq3coll  11150  sumsnf  12031  isprm5  12775  dfphi2  12853  pclemub  12921  pockthg  12991  gsumfzval  13535  logbrec  15751  logbleb  15752  logbgcd1irr  15758  gausslemma2dlem4  15863