Theorem eluzelre 9740

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9739	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 9577	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5318   RRcr 8006   ZZ>=cuz 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-neg 8328  df-z 9455  df-uz 9731

This theorem is referenced by:  eluzelcn  9741  fzouzdisj  10386  fzoun  10387  eluzgtdifelfzo  10411  infssuzex  10461  infssuzledc  10462  rebtwn2zlemstep  10480  fldiv4lem1div2uz2  10534  m1modge3gt1  10601  bernneq3  10892  hashfzp1  11054  seq3coll  11072  sumsnf  11928  isprm5  12672  dfphi2  12750  pclemub  12818  pockthg  12888  gsumfzval  13432  logbrec  15642  logbleb  15643  logbgcd1irr  15649  gausslemma2dlem4  15751