Theorem isprm5 12406

Description: One need only check prime divisors of P up to sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12382	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) )
2		breq1 4046	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x || P <-> z || P ) )
3	2	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( -. x || P <-> -. z || P ) )
4		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
5		2z 9399	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 e. ZZ )
7		eluzelz 9656	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. ZZ )
9		peano2zm 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
11		prmz 12375	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> z e. ZZ )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ZZ )
13	6, 10, 12	3jca 1179	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
14		prmuz2 12395	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Prime -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15		eluzle 9659	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ z )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> 2 <_ z )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 <_ z )
18		eluzelre 9657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. RR )
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z e. RR )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. RR )
21	20	resqcld 10842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) e. RR )
22		eluzelre 9657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. RR )
24		prmnn 12374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> z e. NN )
25	24	nncnd 9049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> z e. CC )
26	25	exp1d 10811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) = z )
27		1lt2 9205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
28		1nn0 9310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 e. NN0 )
30		2nn0 9311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 2 e. NN0 )
32		prmgt1 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 < z )
33		nn0ltexp2 10852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. RR /\ 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) /\ 1 < z ) -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) )
36	26, 35	eqbrtrrd 4067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z < ( z ^ 2 ) )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < ( z ^ 2 ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) <_ P )
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < P )
40		zltlem1 9429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z <_ ( P - 1 ) )
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) )
44		elfz2 10136	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
46	3, 4, 45	rspcdva 2881	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> -. z || P )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
48	47	ralrimiva 2578	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
49		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
50		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
52	49, 50, 51	isprm5lem 12405	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. x || P )
53	52	ralrimiva 2578	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
54	48, 53	impbida 596	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P <-> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
55	54	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
56	1, 55	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2175   A.wral 2483   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   RRcr 7923   1c1 7925   < clt 8106   <_ cle 8107   - cmin 8242   2c2 9086   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   ...cfz 10129   ^cexp 10681   || cdvds 12040   Primecprime 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-dvds 12041  df-prm 12372

This theorem is referenced by:  pockthg  12622