Theorem isprm5 12777

Description: One need only check prime divisors of P up to sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12753	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) )
2		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x || P <-> z || P ) )
3	2	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( -. x || P <-> -. z || P ) )
4		simpllr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
5		2z 9551	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 e. ZZ )
7		eluzelz 9809	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. ZZ )
9		peano2zm 9561	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
11		prmz 12746	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> z e. ZZ )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ZZ )
13	6, 10, 12	3jca 1204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
14		prmuz2 12766	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Prime -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15		eluzle 9812	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ z )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> 2 <_ z )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 <_ z )
18		eluzelre 9810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. RR )
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z e. RR )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. RR )
21	20	resqcld 11007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) e. RR )
22		eluzelre 9810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. RR )
24		prmnn 12745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> z e. NN )
25	24	nncnd 9199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> z e. CC )
26	25	exp1d 10976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) = z )
27		1lt2 9355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
28		1nn0 9460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 e. NN0 )
30		2nn0 9461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 2 e. NN0 )
32		prmgt1 12767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 < z )
33		nn0ltexp2 11017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. RR /\ 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) /\ 1 < z ) -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) )
36	26, 35	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z < ( z ^ 2 ) )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < ( z ^ 2 ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) <_ P )
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < P )
40		zltlem1 9581	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z <_ ( P - 1 ) )
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) )
44		elfz2 10295	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
46	3, 4, 45	rspcdva 2916	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> -. z || P )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
48	47	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
49		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
50		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
52	49, 50, 51	isprm5lem 12776	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. x || P )
53	52	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
54	48, 53	impbida 600	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P <-> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
55	54	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
56	1, 55	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8074   1c1 8076   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   2c2 9236   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   ...cfz 10288   ^cexp 10846   || cdvds 12411   Primecprime 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-dvds 12412  df-prm 12743

This theorem is referenced by:  pockthg  12993