Theorem isprm5 12144

Description: One need only check prime divisors of P up to sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12120	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) )
2		breq1 4008	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x || P <-> z || P ) )
3	2	notbid 667	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( -. x || P <-> -. z || P ) )
4		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
5		2z 9283	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 e. ZZ )
7		eluzelz 9539	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. ZZ )
9		peano2zm 9293	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
11		prmz 12113	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> z e. ZZ )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ZZ )
13	6, 10, 12	3jca 1177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
14		prmuz2 12133	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Prime -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15		eluzle 9542	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ z )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> 2 <_ z )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 <_ z )
18		eluzelre 9540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. RR )
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z e. RR )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. RR )
21	20	resqcld 10682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) e. RR )
22		eluzelre 9540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. RR )
24		prmnn 12112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> z e. NN )
25	24	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> z e. CC )
26	25	exp1d 10651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) = z )
27		1lt2 9090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
28		1nn0 9194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 e. NN0 )
30		2nn0 9195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 2 e. NN0 )
32		prmgt1 12134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 < z )
33		nn0ltexp2 10691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. RR /\ 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) /\ 1 < z ) -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) )
36	26, 35	eqbrtrrd 4029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z < ( z ^ 2 ) )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < ( z ^ 2 ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) <_ P )
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < P )
40		zltlem1 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z <_ ( P - 1 ) )
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) )
44		elfz2 10017	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
46	3, 4, 45	rspcdva 2848	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> -. z || P )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
48	47	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
49		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
50		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
52	49, 50, 51	isprm5lem 12143	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. x || P )
53	52	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
54	48, 53	impbida 596	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P <-> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
55	54	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
56	1, 55	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   1c1 7814   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010   ^cexp 10521   || cdvds 11796   Primecprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  pockthg  12357