Theorem isprm5 12659

Description: One need only check prime divisors of P up to sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12635	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) )
2		breq1 4085	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x || P <-> z || P ) )
3	2	notbid 671	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( -. x || P <-> -. z || P ) )
4		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
5		2z 9470	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 e. ZZ )
7		eluzelz 9727	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. ZZ )
9		peano2zm 9480	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
11		prmz 12628	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> z e. ZZ )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ZZ )
13	6, 10, 12	3jca 1201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
14		prmuz2 12648	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Prime -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15		eluzle 9730	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ z )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> 2 <_ z )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 <_ z )
18		eluzelre 9728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. RR )
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z e. RR )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. RR )
21	20	resqcld 10916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) e. RR )
22		eluzelre 9728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. RR )
24		prmnn 12627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> z e. NN )
25	24	nncnd 9120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> z e. CC )
26	25	exp1d 10885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) = z )
27		1lt2 9276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
28		1nn0 9381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 e. NN0 )
30		2nn0 9382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 2 e. NN0 )
32		prmgt1 12649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 < z )
33		nn0ltexp2 10926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. RR /\ 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) /\ 1 < z ) -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) )
36	26, 35	eqbrtrrd 4106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z < ( z ^ 2 ) )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < ( z ^ 2 ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) <_ P )
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < P )
40		zltlem1 9500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z <_ ( P - 1 ) )
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) )
44		elfz2 10207	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
46	3, 4, 45	rspcdva 2912	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> -. z || P )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
48	47	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
49		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
50		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
52	49, 50, 51	isprm5lem 12658	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. x || P )
53	52	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
54	48, 53	impbida 598	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P <-> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
55	54	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
56	1, 55	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   RRcr 7994   1c1 7996   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   2c2 9157   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200   ^cexp 10755   || cdvds 12293   Primecprime 12624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294  df-prm 12625

This theorem is referenced by:  pockthg  12875