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Theorem isprm5 12083
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
isprm5  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm3 12059 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
) )
2 breq1 3990 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ||  P  <->  z  ||  P ) )
32notbid 662 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x  ||  P  <->  -.  z  ||  P ) )
4 simpllr 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P )
5 2z 9227 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
65a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  2  e.  ZZ )
7 eluzelz 9483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
87ad3antrrr 489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
9 peano2zm 9237 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
11 prmz 12052 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
1211ad2antlr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  z  e.  ZZ )
136, 10, 123jca 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  (
2  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )
)
14 prmuz2 12072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
15 eluzle 9486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  z )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  Prime  ->  2  <_ 
z )
1716ad2antlr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  2  <_  z )
18 eluzelre 9484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  RR )
1914, 18syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  RR )
2019ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  z  e.  RR )
2120resqcld 10622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  (
z ^ 2 )  e.  RR )
22 eluzelre 9484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
2322ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  P  e.  RR )
24 prmnn 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  NN )
2524nncnd 8879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  CC )
2625exp1d 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z ^ 1 )  =  z )
27 1lt2 9034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
28 1nn0 9138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  e. 
NN0 )
30 2nn0 9139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN0
3130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  2  e. 
NN0 )
32 prmgt1 12073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  < 
z )
33 nn0ltexp2 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  1  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  /\  1  <  z )  -> 
( 1  <  2  <->  ( z ^ 1 )  <  ( z ^
2 ) ) )
3419, 29, 31, 32, 33syl31anc 1236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( 1  <  2  <->  ( z ^ 1 )  < 
( z ^ 2 ) ) )
3527, 34mpbii 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z ^ 1 )  < 
( z ^ 2 ) )
3626, 35eqbrtrrd 4011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  < 
( z ^ 2 ) )
3736ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  z  <  ( z ^ 2 ) )
38 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  (
z ^ 2 )  <_  P )
3920, 21, 23, 37, 38ltletrd 8329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  z  <  P )
40 zltlem1 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( z  <  P  <->  z  <_  ( P  - 
1 ) ) )
4112, 8, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  (
z  <  P  <->  z  <_  ( P  -  1 ) ) )
4239, 41mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  z  <_  ( P  -  1 ) )
4317, 42jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  (
2  <_  z  /\  z  <_  ( P  - 
1 ) ) )
44 elfz2 9959 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( (
2  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( 2  <_  z  /\  z  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
4513, 43, 44sylanbrc 415 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  z  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )
463, 4, 45rspcdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)  /\  z  e.  Prime )  /\  ( z ^ 2 )  <_  P )  ->  -.  z  ||  P )
4746ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  -.  x  ||  P )  /\  z  e.  Prime )  ->  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
4847ralrimiva 2543 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  -.  x  ||  P )  ->  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
49 simpll 524 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  /\  x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
50 simplr 525 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  /\  x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )
51 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  /\  x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )
5249, 50, 51isprm5lem 12082 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  /\  x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  -.  x  ||  P )
5352ralrimiva 2543 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  ->  A. x  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  x  ||  P
)
5448, 53impbida 591 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. x  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  -.  x  ||  P  <->  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
5554pm5.32i 451 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ( 2 ... ( P  - 
1 ) )  -.  x  ||  P )  <-> 
( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
561, 55bitri 183 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    e. wcel 2141   A.wral 2448   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   1c1 7762    < clt 7941    <_ cle 7942    - cmin 8077   2c2 8916   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952   ^cexp 10462    || cdvds 11736   Primecprime 12048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-prm 12049
This theorem is referenced by:  pockthg  12296
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