Theorem isprm5 12713

Description: One need only check prime divisors of P up to sqr P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12689	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) )
2		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x || P <-> z || P ) )
3	2	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( -. x || P <-> -. z || P ) )
4		simpllr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
5		2z 9506	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 e. ZZ )
7		eluzelz 9764	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. ZZ )
9		peano2zm 9516	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
11		prmz 12682	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> z e. ZZ )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ZZ )
13	6, 10, 12	3jca 1203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
14		prmuz2 12702	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Prime -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15		eluzle 9767	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ z )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Prime -> 2 <_ z )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> 2 <_ z )
18		eluzelre 9765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. RR )
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z e. RR )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. RR )
21	20	resqcld 10960	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) e. RR )
22		eluzelre 9765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> P e. RR )
24		prmnn 12681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> z e. NN )
25	24	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> z e. CC )
26	25	exp1d 10929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) = z )
27		1lt2 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
28		1nn0 9417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 e. NN0 )
30		2nn0 9418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 2 e. NN0 )
32		prmgt1 12703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Prime -> 1 < z )
33		nn0ltexp2 10970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. RR /\ 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) /\ 1 < z ) -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Prime -> ( 1 < 2 <-> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) ) )
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> ( z ^ 1 ) < ( z ^ 2 ) )
36	26, 35	eqbrtrrd 4112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> z < ( z ^ 2 ) )
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < ( z ^ 2 ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z ^ 2 ) <_ P )
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z < P )
40		zltlem1 9536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z <_ ( P - 1 ) )
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) )
44		elfz2 10249	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
46	3, 4, 45	rspcdva 2915	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) /\ ( z ^ 2 ) <_ P ) -> -. z || P )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) /\ z e. Prime ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
48	47	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
49		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
50		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
52	49, 50, 51	isprm5lem 12712	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) /\ x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. x || P )
53	52	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) -> A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P )
54	48, 53	impbida 600	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P <-> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
55	54	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. x || P ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
56	1, 55	bitri 184	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   1c1 8032   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   ^cexp 10799   || cdvds 12347   Primecprime 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-prm 12679

This theorem is referenced by:  pockthg  12929