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Theorem pclemub 13010
Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
Assertion
Ref Expression
pclemub |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
Distinct variable groups:   n, N, y   x, N, y   P, n, y   x, P
Allowed substitution hints:   A( x, y, n)
Proof of Theorem pclemub
StepHypRef Expression
1 nnssz 9611 . 2 |- NN C_ ZZ
2 zcn 9599 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
32abscld 11891 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
43ad2antrl 490 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( abs ` N ) e. RR )
5 eluzelre 9882 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
65adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> P e. RR )
7 eluz2gt1 9952 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
87adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> 1 < P )
9 expnbnd 11050 . . . 4 |- ( ( ( abs ` N ) e. RR /\ P e. RR /\ 1 < P ) -> E. x e. NN ( abs ` N ) < ( P ^ x ) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. NN ( abs ` N ) < ( P ^ x ) )
11 simprr 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. A )
12 oveq2 6066 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = y -> ( P ^ n ) = ( P ^ y ) )
1312breq1d 4124 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = y -> ( ( P ^ n ) || N <-> ( P ^ y ) || N ) )
14 pclem.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
1513, 14elrab2 2979 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A <-> ( y e. NN0 /\ ( P ^ y ) || N ) )
1611, 15sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( y e. NN0 /\ ( P ^ y ) || N ) )
1716simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) || N )
18 eluz2nn 9916 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> P e. NN )
2016simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. NN0 )
2119, 20nnexpcld 11082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) e. NN )
2221nnzd 9717 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) e. ZZ )
23 simplrl 537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> N e. ZZ )
24 simplrr 538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> N =/= 0 )
25 dvdsleabs 12556 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ^ y ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( P ^ y ) || N -> ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) ) )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( P ^ y ) || N -> ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) ) )
2717, 26mpd 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) )
2821nnred 9267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) e. RR )
294adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( abs ` N ) e. RR )
305ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> P e. RR )
31 nnnn0 9520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
3231ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> x e. NN0 )
3330, 32reexpcld 11077 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ x ) e. RR )
34 lelttr 8378 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ^ y ) e. RR /\ ( abs ` N ) e. RR /\ ( P ^ x ) e. RR ) -> ( ( ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) /\ ( abs ` N ) < ( P ^ x ) ) -> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
3528, 29, 33, 34syl3anc 1274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) /\ ( abs ` N ) < ( P ^ x ) ) -> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
3627, 35mpand 429 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
377ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> 1 < P )
38 nn0ltexp2 11096 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. RR /\ y e. NN0 /\ x e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( y < x <-> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
3930, 20, 32, 37, 38syl31anc 1277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( y < x <-> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
4036, 39sylibrd 169 . . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> y < x ) )
4120nn0red 9571 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. RR )
42 nnre 9261 . . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. RR )
4342ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> x e. RR )
44 ltle 8377 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y < x -> y <_ x ) )
4541, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( y < x -> y <_ x ) )
4640, 45syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> y <_ x ) )
4746anassrs 400 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ x e. NN ) /\ y e. A ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> y <_ x ) )
4847ralrimdva 2624 . . . 4 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> A. y e. A y <_ x ) )
4948reximdva 2646 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( E. x e. NN ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> E. x e. NN A. y e. A y <_ x ) )
5010, 49mpd 13 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. NN A. y e. A y <_ x )
51 ssrexv 3307 . 2 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. x e. NN A. y e. A y <_ x -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) )
521, 50, 51mpsyl 65 1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ^cexp 10924   abscabs 11707   || cdvds 12498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499
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