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Theorem pclemub 13066
Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
Assertion
Ref Expression
pclemub |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
Distinct variable groups:   n, N, y   x, N, y   P, n, y   x, P
Allowed substitution hints:   A( x, y, n)
Proof of Theorem pclemub
StepHypRef Expression
1 nnssz 9661 . 2 |- NN C_ ZZ
2 zcn 9649 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
32abscld 11947 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
43ad2antrl 494 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( abs ` N ) e. RR )
5 eluzelre 9932 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
65adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> P e. RR )
7 eluz2gt1 10002 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
87adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> 1 < P )
9 expnbnd 11101 . . . 4 |- ( ( ( abs ` N ) e. RR /\ P e. RR /\ 1 < P ) -> E. x e. NN ( abs ` N ) < ( P ^ x ) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. NN ( abs ` N ) < ( P ^ x ) )
11 simprr 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. A )
12 oveq2 6093 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = y -> ( P ^ n ) = ( P ^ y ) )
1312breq1d 4140 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = y -> ( ( P ^ n ) || N <-> ( P ^ y ) || N ) )
14 pclem.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
1513, 14elrab2 2985 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A <-> ( y e. NN0 /\ ( P ^ y ) || N ) )
1611, 15sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( y e. NN0 /\ ( P ^ y ) || N ) )
1716simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) || N )
18 eluz2nn 9966 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
1918ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> P e. NN )
2016simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. NN0 )
2119, 20nnexpcld 11133 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) e. NN )
2221nnzd 9767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) e. ZZ )
23 simplrl 541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> N e. ZZ )
24 simplrr 542 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> N =/= 0 )
25 dvdsleabs 12612 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ^ y ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( P ^ y ) || N -> ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) ) )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1278 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( P ^ y ) || N -> ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) ) )
2717, 26mpd 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) )
2821nnred 9317 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ y ) e. RR )
294adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( abs ` N ) e. RR )
305ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> P e. RR )
31 nnnn0 9570 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
3231ad2antrl 494 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> x e. NN0 )
3330, 32reexpcld 11128 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( P ^ x ) e. RR )
34 lelttr 8414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ^ y ) e. RR /\ ( abs ` N ) e. RR /\ ( P ^ x ) e. RR ) -> ( ( ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) /\ ( abs ` N ) < ( P ^ x ) ) -> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
3528, 29, 33, 34syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( ( P ^ y ) <_ ( abs ` N ) /\ ( abs ` N ) < ( P ^ x ) ) -> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
3627, 35mpand 433 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
377ad2antrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> 1 < P )
38 nn0ltexp2 11147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. RR /\ y e. NN0 /\ x e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( y < x <-> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
3930, 20, 32, 37, 38syl31anc 1281 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( y < x <-> ( P ^ y ) < ( P ^ x ) ) )
4036, 39sylibrd 169 . . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> y < x ) )
4120nn0red 9621 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. RR )
42 nnre 9311 . . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. RR )
4342ad2antrl 494 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> x e. RR )
44 ltle 8413 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y < x -> y <_ x ) )
4541, 43, 44syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( y < x -> y <_ x ) )
4640, 45syld 45 . . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> y <_ x ) )
4746anassrs 404 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ x e. NN ) /\ y e. A ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> y <_ x ) )
4847ralrimdva 2630 . . . 4 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> A. y e. A y <_ x ) )
4948reximdva 2652 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( E. x e. NN ( abs ` N ) < ( P ^ x ) -> E. x e. NN A. y e. A y <_ x ) )
5010, 49mpd 13 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. NN A. y e. A y <_ x )
51 ssrexv 3313 . 2 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. x e. NN A. y e. A y <_ x -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) )
521, 50, 51mpsyl 65 1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   NNcn 9304   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ^cexp 10975   abscabs 11763   || cdvds 12554
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555
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