ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1modge3gt1 Unicode version

Theorem m1modge3gt1 10344
Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1modge3gt1  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  (
-u 1  mod  M
) )

Proof of Theorem m1modge3gt1
StepHypRef Expression
1 1p1e2 9012 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =  2
2 2p1e3 9028 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3 eluzle 9516 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  M )
42, 3eqbrtrid 4035 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  +  1 )  <_  M )
5 2z 9257 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
6 eluzelz 9513 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  M  e.  ZZ )
7 zltp1le 9283 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  M  <->  ( 2  +  1 )  <_  M ) )
85, 6, 7sylancr 414 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  M  <->  ( 2  +  1 )  <_  M ) )
94, 8mpbird 167 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  M )
101, 9eqbrtrid 4035 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  +  1 )  < 
M )
11 1red 7950 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  RR )
12 eluzelre 9514 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  M  e.  RR )
1311, 11, 12ltaddsub2d 8480 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
1  +  1 )  <  M  <->  1  <  ( M  -  1 ) ) )
1410, 13mpbid 147 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  ( M  -  1 ) )
15 eluzge3nn 9548 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  M  e.  NN )
16 m1modnnsub1 10343 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )
1715, 16syl 14 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  -  1 ) )
1814, 17breqtrrd 4028 1  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  (
-u 1  mod  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   1c1 7790    + caddc 7792    < clt 7969    <_ cle 7970    - cmin 8105   -ucneg 8106   NNcn 8895   2c2 8946   3c3 8947   ZZcz 9229   ZZ>=cuz 9504    mod cmo 10295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fl 10243  df-mod 10296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator