Theorem m1modge3gt1 10634

Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modge3gt1	|- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Proof of Theorem m1modge3gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 9260	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) = 2
2		2p1e3 9277	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
3		eluzle 9768	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ M )
4	2, 3	eqbrtrid 4123	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 + 1 ) <_ M )
5		2z 9507	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
6		eluzelz 9765	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. ZZ )
7		zltp1le 9534	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
9	4, 8	mpbird 167	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < M )
10	1, 9	eqbrtrid 4123	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 + 1 ) < M )
11		1red 8194	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. RR )
12		eluzelre 9766	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. RR )
13	11, 11, 12	ltaddsub2d 8726	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 1 + 1 ) < M <-> 1 < ( M - 1 ) ) )
14	10, 13	mpbid 147	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( M - 1 ) )
15		eluzge3nn 9806	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. NN )
16		m1modnnsub1 10633	. . 3 |- ( M e. NN -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
18	14, 17	breqtrrd 4116	1 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214   <_ cle 8215   - cmin 8350   -ucneg 8351   NNcn 9143   2c2 9194   3c3 9195   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   mod cmo 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  15805