Theorem m1modge3gt1 10593

Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modge3gt1	|- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Proof of Theorem m1modge3gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 9227	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) = 2
2		2p1e3 9244	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
3		eluzle 9734	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ M )
4	2, 3	eqbrtrid 4118	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 + 1 ) <_ M )
5		2z 9474	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
6		eluzelz 9731	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. ZZ )
7		zltp1le 9501	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
9	4, 8	mpbird 167	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < M )
10	1, 9	eqbrtrid 4118	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 + 1 ) < M )
11		1red 8161	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. RR )
12		eluzelre 9732	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. RR )
13	11, 11, 12	ltaddsub2d 8693	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 1 + 1 ) < M <-> 1 < ( M - 1 ) ) )
14	10, 13	mpbid 147	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( M - 1 ) )
15		eluzge3nn 9767	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. NN )
16		m1modnnsub1 10592	. . 3 |- ( M e. NN -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
18	14, 17	breqtrrd 4111	1 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   -ucneg 8318   NNcn 9110   2c2 9161   3c3 9162   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   mod cmo 10544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fl 10490  df-mod 10545

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  15736