Theorem m1modge3gt1 10757

Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modge3gt1	|- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Proof of Theorem m1modge3gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 9371	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) = 2
2		2p1e3 9388	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
3		eluzle 9884	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ M )
4	2, 3	eqbrtrid 4149	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 + 1 ) <_ M )
5		2z 9622	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
6		eluzelz 9881	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. ZZ )
7		zltp1le 9649	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
9	4, 8	mpbird 167	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < M )
10	1, 9	eqbrtrid 4149	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 + 1 ) < M )
11		1red 8305	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. RR )
12		eluzelre 9882	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. RR )
13	11, 11, 12	ltaddsub2d 8837	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 1 + 1 ) < M <-> 1 < ( M - 1 ) ) )
14	10, 13	mpbid 147	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( M - 1 ) )
15		eluzge3nn 9922	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. NN )
16		m1modnnsub1 10756	. . 3 |- ( M e. NN -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
18	14, 17	breqtrrd 4142	1 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   NNcn 9254   2c2 9305   3c3 9306   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   mod cmo 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  16056