Theorem logbrec 16208

Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. Particular case of Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
logbrec	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> ( B logb ( 1 / A ) ) = -u ( B logb A ) )

Proof of Theorem logbrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9983	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
2	1	nnrpd 10113	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR+ )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> B e. RR+ )
4		1red 8348	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
5		eluzelre 9949	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR )
6		eluz2gt1 10019	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
7	4, 5, 6	gtapd 8974	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B # 1 )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> B # 1 )
9		1rp 10076	. . . . 5 |- 1 e. RR+
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> 1 e. RR+ )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> A e. RR+ )
12		rprelogbdiv 16205	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR+ /\ B # 1 ) /\ ( 1 e. RR+ /\ A e. RR+ ) ) -> ( B logb ( 1 / A ) ) = ( ( B logb 1 ) - ( B logb A ) ) )
13	3, 8, 10, 11, 12	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> ( B logb ( 1 / A ) ) = ( ( B logb 1 ) - ( B logb A ) ) )
14		rplogb1 16196	. . . . 5 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 ) -> ( B logb 1 ) = 0 )
15	3, 8, 14	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> ( B logb 1 ) = 0 )
16	15	oveq1d 6103	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> ( ( B logb 1 ) - ( B logb A ) ) = ( 0 - ( B logb A ) ) )
17	13, 16	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> ( B logb ( 1 / A ) ) = ( 0 - ( B logb A ) ) )
18		df-neg 8508	. 2 |- -u ( B logb A ) = ( 0 - ( B logb A ) )
19	17, 18	eqtr4di 2289	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. RR+ ) -> ( B logb ( 1 / A ) ) = -u ( B logb A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8186   1c1 8187   - cmin 8505   -ucneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011   2c2 9365   ZZ>=cuz 9938   RR+crp 10072   log_b clogb 16191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-e 12442  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895  df-relog 16099  df-rpcxp 16100  df-logb 16192

This theorem is used by: (None)