ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1eqsn GIF version

Theorem en1eqsn 6947
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 6521 . . . . . 6 1o ∈ ω
2 nnfi 6872 . . . . . 6 (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 1o ∈ Fin
4 enfii 6874 . . . . 5 ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
53, 4mpan 424 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o𝐵 ∈ Fin)
65adantl 277 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
7 snssi 3737 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
87adantr 276 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9 ensn1g 6797 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
10 ensym 6781 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o → 1o𝐵)
11 entr 6784 . . . 4 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
129, 10, 11syl2an 289 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13 fisseneq 6931 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
146, 8, 12, 13syl3anc 1238 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
1514eqcomd 2183 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3130  {csn 3593   class class class wbr 4004  ωcom 4590  1oc1o 6410  cen 6738  Fincfn 6740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-fin 6743
This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  6948  1nsgtrivd  13079  en1top  13580
  Copyright terms: Public domain W3C validator