Theorem en1eqsn 7255

Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6783	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2		nnfi 7164	. . . . . 6 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ Fin
4		enfii 7166	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
5	3, 4	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
7		snssi 3854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9		ensn1g 7074	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
10		ensym 7058	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 1o → 1o ≈ 𝐵)
11		entr 7061	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≈ 𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13		fisseneq 7232	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
14	6, 8, 12, 13	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
15	14	eqcomd 2244	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  {csn 3705   class class class wbr 4125  ωcom 4732  1_oc1o 6670   ≈ cen 7010  Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  7256  1nsgtrivd  13999  en1top  15101