ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1eqsn GIF version

Theorem en1eqsn 6804
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 6384 . . . . . 6 1o ∈ ω
2 nnfi 6734 . . . . . 6 (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 1o ∈ Fin
4 enfii 6736 . . . . 5 ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
53, 4mpan 420 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o𝐵 ∈ Fin)
65adantl 275 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
7 snssi 3634 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
87adantr 274 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9 ensn1g 6659 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
10 ensym 6643 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o → 1o𝐵)
11 entr 6646 . . . 4 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
129, 10, 11syl2an 287 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13 fisseneq 6788 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
146, 8, 12, 13syl3anc 1201 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
1514eqcomd 2123 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wss 3041  {csn 3497   class class class wbr 3899  ωcom 4474  1oc1o 6274  cen 6600  Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  6805  en1top  12173
  Copyright terms: Public domain W3C validator