ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1eqsn GIF version

Theorem en1eqsn 6843
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 6423 . . . . . 6 1o ∈ ω
2 nnfi 6773 . . . . . 6 (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 1o ∈ Fin
4 enfii 6775 . . . . 5 ((1o ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
53, 4mpan 421 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o𝐵 ∈ Fin)
65adantl 275 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 ∈ Fin)
7 snssi 3671 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
87adantr 274 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9 ensn1g 6698 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1o)
10 ensym 6682 . . . 4 (𝐵 ≈ 1o → 1o𝐵)
11 entr 6685 . . . 4 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o𝐵) → {𝐴} ≈ 𝐵)
129, 10, 11syl2an 287 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} ≈ 𝐵)
13 fisseneq 6827 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ≈ 𝐵) → {𝐴} = 𝐵)
146, 8, 12, 13syl3anc 1217 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → {𝐴} = 𝐵)
1514eqcomd 2146 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = {𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wss 3075  {csn 3531   class class class wbr 3936  ωcom 4511  1oc1o 6313  cen 6639  Fincfn 6641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-fin 6644
This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  6844  en1top  12283
  Copyright terms: Public domain W3C validator