Theorem 1nsgtrivd 13084

Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
1nsgtrivd.1	|- B = ( Base ` G )
1nsgtrivd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
1nsgtrivd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
1nsgtrivd.4	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Assertion

Ref	Expression
1nsgtrivd	|- ( ph -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 1nsgtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nsgtrivd.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		1nsgtrivd.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	2	nsgid 13080	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
5		1nsgtrivd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
6	5	0nsg 13079	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
8		1nsgtrivd.4	. . . 4 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )
9		en1eqsn 6949	. . . 4 |- ( ( { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) /\ (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o ) -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
11	4, 10	eleqtrd 2256	. 2 |- ( ph -> B e. { { .0. } } )
12	7	elexd 2752	. . 3 |- ( ph -> { .0. } e. _V )
13		elsn2g 3627	. . 3 |- ( { .0. } e. _V -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
15	11, 14	mpbid 147	1 |- ( ph -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {csn 3594   class class class wbr 4005   ` cfv 5218   1oc1o 6412   ~~ cen 6740   Basecbs 12464   0gc0g 12710   Grpcgrp 12882  NrmSGrpcnsg 13033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-submnd 12857  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-subg 13035  df-nsg 13036

This theorem is referenced by: (None)