Theorem 1nsgtrivd 13936

Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
1nsgtrivd.1	|- B = ( Base ` G )
1nsgtrivd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
1nsgtrivd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
1nsgtrivd.4	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Assertion

Ref	Expression
1nsgtrivd	|- ( ph -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 1nsgtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nsgtrivd.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		1nsgtrivd.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	2	nsgid 13932	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
5		1nsgtrivd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
6	5	0nsg 13931	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
8		1nsgtrivd.4	. . . 4 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )
9		en1eqsn 7218	. . . 4 |- ( ( { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) /\ (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o ) -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
11	4, 10	eleqtrd 2311	. 2 |- ( ph -> B e. { { .0. } } )
12	7	elexd 2827	. . 3 |- ( ph -> { .0. } e. _V )
13		elsn2g 3722	. . 3 |- ( { .0. } e. _V -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
15	11, 14	mpbid 147	1 |- ( ph -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   {csn 3689   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   1oc1o 6640   ~~ cen 6973   Basecbs 13212   0gc0g 13469   Grpcgrp 13713  NrmSGrpcnsg 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-submnd 13673  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-subg 13887  df-nsg 13888

This theorem is referenced by: (None)