Theorem 1nsgtrivd 13756

Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
1nsgtrivd.1	|- B = ( Base ` G )
1nsgtrivd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
1nsgtrivd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
1nsgtrivd.4	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Assertion

Ref	Expression
1nsgtrivd	|- ( ph -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 1nsgtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nsgtrivd.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		1nsgtrivd.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	2	nsgid 13752	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
5		1nsgtrivd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
6	5	0nsg 13751	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
8		1nsgtrivd.4	. . . 4 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )
9		en1eqsn 7115	. . . 4 |- ( ( { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) /\ (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o ) -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
11	4, 10	eleqtrd 2308	. 2 |- ( ph -> B e. { { .0. } } )
12	7	elexd 2813	. . 3 |- ( ph -> { .0. } e. _V )
13		elsn2g 3699	. . 3 |- ( { .0. } e. _V -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
15	11, 14	mpbid 147	1 |- ( ph -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   1oc1o 6555   ~~ cen 6885   Basecbs 13032   0gc0g 13289   Grpcgrp 13533  NrmSGrpcnsg 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-submnd 13493  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538  df-subg 13707  df-nsg 13708

This theorem is referenced by: (None)