Theorem 1nsgtrivd 13972

Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
1nsgtrivd.1	|- B = ( Base ` G )
1nsgtrivd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
1nsgtrivd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
1nsgtrivd.4	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Assertion

Ref	Expression
1nsgtrivd	|- ( ph -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 1nsgtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nsgtrivd.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		1nsgtrivd.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	2	nsgid 13968	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
5		1nsgtrivd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
6	5	0nsg 13967	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
8		1nsgtrivd.4	. . . 4 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )
9		en1eqsn 7231	. . . 4 |- ( ( { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) /\ (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o ) -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
11	4, 10	eleqtrd 2313	. 2 |- ( ph -> B e. { { .0. } } )
12	7	elexd 2829	. . 3 |- ( ph -> { .0. } e. _V )
13		elsn2g 3727	. . 3 |- ( { .0. } e. _V -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
15	11, 14	mpbid 147	1 |- ( ph -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   class class class wbr 4114   ` cfv 5357   1oc1o 6653   ~~ cen 6986   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Grpcgrp 13755  NrmSGrpcnsg 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-submnd 13715  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-subg 13923  df-nsg 13924

This theorem is referenced by: (None)