Theorem 1nsgtrivd 13010

Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
1nsgtrivd.1	|- B = ( Base ` G )
1nsgtrivd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
1nsgtrivd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
1nsgtrivd.4	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Assertion

Ref	Expression
1nsgtrivd	|- ( ph -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 1nsgtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nsgtrivd.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		1nsgtrivd.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	2	nsgid 13006	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
5		1nsgtrivd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
6	5	0nsg 13005	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) )
8		1nsgtrivd.4	. . . 4 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )
9		en1eqsn 6944	. . . 4 |- ( ( { .0. } e. (NrmSGrp ` G ) /\ (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o ) -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { { .0. } } )
11	4, 10	eleqtrd 2256	. 2 |- ( ph -> B e. { { .0. } } )
12	7	elexd 2750	. . 3 |- ( ph -> { .0. } e. _V )
13		elsn2g 3625	. . 3 |- ( { .0. } e. _V -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B e. { { .0. } } <-> B = { .0. } ) )
15	11, 14	mpbid 147	1 |- ( ph -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3592   class class class wbr 4002   ` cfv 5215   1oc1o 6407   ~~ cen 6735   Basecbs 12454   0gc0g 12693   Grpcgrp 12809  NrmSGrpcnsg 12959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6414  df-er 6532  df-en 6738  df-fin 6740  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-submnd 12784  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-subg 12961  df-nsg 12962

This theorem is referenced by: (None)