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Theorem f1eqcocnv 5570
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5283 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )
)
2 coeq2 4594 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  F
)  =  ( `' F  o.  G ) )
32eqeq1d 2096 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )  <->  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) ) )
41, 3syl5ibcom 153 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
54adantr 270 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) ) )
6 f1fn 5218 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> B  ->  G  Fn  A )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  G  Fn  A )
87adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  Fn  A )
9 f1fn 5218 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
109adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  F  Fn  A )
1110adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  Fn  A )
12 equid 1634 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  x
13 resieq 4723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x (  _I  |`  A ) x  <->  x  =  x ) )
1412, 13mpbiri 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
1514anidms 389 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x
(  _I  |`  A ) x )
1615adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
17 breq 3847 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1817ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1916, 18mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x ( `' F  o.  G ) x )
20 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2120, 20brco 4607 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  E. y
( x G y  /\  y `' F x ) )
22 fnfun 5111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
237, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  G )
2423adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  G )
25 fndm 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  Fn  A  ->  dom  G  =  A )
267, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  G  =  A )
2726eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  G  <->  x  e.  A ) )
2827biimpar 291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  G )
29 funopfvb 5348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
3024, 28, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
3130bicomd 139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( G `  x )  =  y ) )
32 df-br 3846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x G y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
)
33 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =  y )
3431, 32, 333bitr4g 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  <->  y  =  ( G `  x ) ) )
3534biimpd 142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  -> 
y  =  ( G `
 x ) ) )
36 fnfun 5111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  Fun  F )
3710, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  F )
3837adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
39 fndm 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
4010, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  F  =  A )
4140eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
4241biimpar 291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F )
43 funopfvb 5348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F ) )
4438, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
45 df-br 3846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
4644, 45syl6rbbr 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x F y  <->  ( F `  x )  =  y ) )
47 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
4847, 20brcnv 4619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
49 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
5046, 48, 493bitr4g 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  <-> 
y  =  ( F `
 x ) ) )
5150biimpd 142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  ->  y  =  ( F `  x ) ) )
5235, 51anim12d 328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( x G y  /\  y `' F x )  ->  (
y  =  ( G `
 x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5352eximdv 1808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y ( x G y  /\  y `' F x )  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5421, 53syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
556anim1i 333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : A -1-1-> B  /\  x  e.  A
)  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A ) )
5655adantll 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )
)
57 funfvex 5322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( G `  x
)  e.  _V )
5857funfni 5114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  _V )
59 eqvincg 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  x )  e.  _V  ->  (
( G `  x
)  =  ( F `
 x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
6056, 58, 593syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  ( F `
 x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
6154, 60sylibrd 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) ) )
6261adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  ->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
6319, 62mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
648, 11, 63eqfnfvd 5400 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  =  F )
6564eqcomd 2093 . . 3  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  =  G )
6665ex 113 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  F  =  G ) )
675, 66impbid 127 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3449   class class class wbr 3845    _I cid 4115   `'ccnv 4437   dom cdm 4438    |` cres 4440    o. ccom 4442   Fun wfun 5009    Fn wfn 5010   -1-1->wf1 5012   ` cfv 5015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023
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