Theorem f1eqcocnv 5692

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1eqcocnv	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Proof of Theorem f1eqcocnv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1cocnv1 5397	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )
2		coeq2 4697	. . . . 5 |- ( F = G -> ( `' F o. F ) = ( `' F o. G ) )
3	2	eqeq1d 2148	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
4	1, 3	syl5ibcom 154	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
6		f1fn 5330	. . . . . . 7 |- ( G : A -1-1-> B -> G Fn A )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> G Fn A )
8	7	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G Fn A )
9		f1fn 5330	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
10	9	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> F Fn A )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F Fn A )
12		equid 1677	. . . . . . . . . 10 |- x = x
13		resieq 4829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x ( _I |` A ) x <-> x = x ) )
14	12, 13	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
15	14	anidms 394	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> x ( _I |` A ) x )
16	15	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
17		breq 3931	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
18	17	ad2antlr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
19	16, 18	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( `' F o. G ) x )
20		vex 2689	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
21	20, 20	brco 4710	. . . . . . . . 9 |- ( x ( `' F o. G ) x <-> E. y ( x G y /\ y `' F x ) )
22		fnfun 5220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn A -> Fun G )
23	7, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun G )
24	23	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun G )
25		fndm 5222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G Fn A -> dom G = A )
26	7, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom G = A )
27	26	eleq2d 2209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom G <-> x e. A ) )
28	27	biimpar 295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom G )
29		funopfvb 5465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
31	30	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( G ` x ) = y ) )
32		df-br 3930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x G y <-> <. x , y >. e. G )
33		eqcom 2141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) <-> ( G ` x ) = y )
34	31, 32, 33	3bitr4g 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y <-> y = ( G ` x ) ) )
35	34	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y -> y = ( G ` x ) ) )
36		fnfun 5220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn A -> Fun F )
37	10, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun F )
38	37	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun F )
39		fndm 5222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn A -> dom F = A )
40	10, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
41	40	eleq2d 2209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
42	41	biimpar 295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom F )
43		funopfvb 5465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
44	38, 42, 43	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
45		df-br 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
46	44, 45	syl6rbbr 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x F y <-> ( F ` x ) = y ) )
47		vex 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
48	47, 20	brcnv 4722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' F x <-> x F y )
49		eqcom 2141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
50	46, 48, 49	3bitr4g 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x <-> y = ( F ` x ) ) )
51	50	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x -> y = ( F ` x ) ) )
52	35, 51	anim12d 333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( x G y /\ y `' F x ) -> ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
53	52	eximdv 1852	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( E. y ( x G y /\ y `' F x ) -> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
54	21, 53	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
55	6	anim1i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : A -1-1-> B /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
56	55	adantll 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
57		funfvex 5438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V )
58	57	funfni 5223	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
59		eqvincg 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` x ) e. _V -> ( ( G ` x ) = ( F ` x ) <-> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
60	56, 58, 59	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = ( F ` x ) <-> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
61	54, 60	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
62	61	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
63	19, 62	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
64	8, 11, 63	eqfnfvd 5521	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G = F )
65	64	eqcomd 2145	. . 3 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F = G )
66	65	ex 114	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> F = G ) )
67	5, 66	impbid 128	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   <.cop 3530   class class class wbr 3929   _I cid 4210   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   |` cres 4541   o. ccom 4543   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -1-1->wf1 5120   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131

This theorem is referenced by: (None)