Theorem f1eqcocnv 5966

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1eqcocnv	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Proof of Theorem f1eqcocnv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1cocnv1 5646	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )
2		coeq2 4915	. . . . 5 |- ( F = G -> ( `' F o. F ) = ( `' F o. G ) )
3	2	eqeq1d 2243	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
4	1, 3	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
6		f1fn 5577	. . . . . . 7 |- ( G : A -1-1-> B -> G Fn A )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> G Fn A )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G Fn A )
9		f1fn 5577	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> F Fn A )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F Fn A )
12		equid 1749	. . . . . . . . . 10 |- x = x
13		resieq 5050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x ( _I |` A ) x <-> x = x ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
15	14	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> x ( _I |` A ) x )
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
17		breq 4113	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
19	16, 18	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( `' F o. G ) x )
20		vex 2818	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
21	20, 20	brco 4928	. . . . . . . . 9 |- ( x ( `' F o. G ) x <-> E. y ( x G y /\ y `' F x ) )
22		fnfun 5455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn A -> Fun G )
23	7, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun G )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun G )
25		fndm 5457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G Fn A -> dom G = A )
26	7, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom G = A )
27	26	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom G <-> x e. A ) )
28	27	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom G )
29		funopfvb 5720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
31	30	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( G ` x ) = y ) )
32		df-br 4112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x G y <-> <. x , y >. e. G )
33		eqcom 2236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) <-> ( G ` x ) = y )
34	31, 32, 33	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y <-> y = ( G ` x ) ) )
35	34	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y -> y = ( G ` x ) ) )
36		df-br 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
37		fnfun 5455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn A -> Fun F )
38	10, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun F )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun F )
40		fndm 5457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn A -> dom F = A )
41	10, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
42	41	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
43	42	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom F )
44		funopfvb 5720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
45	39, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
46	36, 45	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x F y <-> ( F ` x ) = y ) )
47		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
48	47, 20	brcnv 4940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' F x <-> x F y )
49		eqcom 2236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
50	46, 48, 49	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x <-> y = ( F ` x ) ) )
51	50	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x -> y = ( F ` x ) ) )
52	35, 51	anim12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( x G y /\ y `' F x ) -> ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
53	52	eximdv 1929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( E. y ( x G y /\ y `' F x ) -> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
54	21, 53	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
55	6	anim1i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : A -1-1-> B /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
56	55	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
57		funfvex 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V )
58	57	funfni 5460	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
59		eqvincg 2943	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` x ) e. _V -> ( ( G ` x ) = ( F ` x ) <-> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
60	56, 58, 59	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = ( F ` x ) <-> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
61	54, 60	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
62	61	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
63	19, 62	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
64	8, 11, 63	eqfnfvd 5780	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G = F )
65	64	eqcomd 2240	. . 3 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F = G )
66	65	ex 115	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> F = G ) )
67	5, 66	impbid 129	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3694   class class class wbr 4111   _I cid 4411   `'ccnv 4750   dom cdm 4751   |` cres 4753   o. ccom 4755   Fun wfun 5348   Fn wfn 5349   -1-1->wf1 5351   ` cfv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362

This theorem is referenced by: (None)