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Theorem f1eqcocnv 5658
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5363 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )
)
2 coeq2 4665 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  F
)  =  ( `' F  o.  G ) )
32eqeq1d 2124 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )  <->  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) ) )
41, 3syl5ibcom 154 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
54adantr 272 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) ) )
6 f1fn 5298 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> B  ->  G  Fn  A )
76adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  G  Fn  A )
87adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  Fn  A )
9 f1fn 5298 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
109adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  F  Fn  A )
1110adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  Fn  A )
12 equid 1660 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  x
13 resieq 4797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x (  _I  |`  A ) x  <->  x  =  x ) )
1412, 13mpbiri 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
1514anidms 392 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x
(  _I  |`  A ) x )
1615adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
17 breq 3899 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1817ad2antlr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1916, 18mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x ( `' F  o.  G ) x )
20 vex 2661 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2120, 20brco 4678 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  E. y
( x G y  /\  y `' F x ) )
22 fnfun 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
237, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  G )
2423adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  G )
25 fndm 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  Fn  A  ->  dom  G  =  A )
267, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  G  =  A )
2726eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  G  <->  x  e.  A ) )
2827biimpar 293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  G )
29 funopfvb 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
3024, 28, 29syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
3130bicomd 140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( G `  x )  =  y ) )
32 df-br 3898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x G y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
)
33 eqcom 2117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =  y )
3431, 32, 333bitr4g 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  <->  y  =  ( G `  x ) ) )
3534biimpd 143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  -> 
y  =  ( G `
 x ) ) )
36 fnfun 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  Fun  F )
3710, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  F )
3837adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
39 fndm 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
4010, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  F  =  A )
4140eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
4241biimpar 293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F )
43 funopfvb 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F ) )
4438, 42, 43syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
45 df-br 3898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
4644, 45syl6rbbr 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x F y  <->  ( F `  x )  =  y ) )
47 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
4847, 20brcnv 4690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
49 eqcom 2117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
5046, 48, 493bitr4g 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  <-> 
y  =  ( F `
 x ) ) )
5150biimpd 143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  ->  y  =  ( F `  x ) ) )
5235, 51anim12d 331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( x G y  /\  y `' F x )  ->  (
y  =  ( G `
 x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5352eximdv 1834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y ( x G y  /\  y `' F x )  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5421, 53syl5bi 151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
556anim1i 336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : A -1-1-> B  /\  x  e.  A
)  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A ) )
5655adantll 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )
)
57 funfvex 5404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( G `  x
)  e.  _V )
5857funfni 5191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  _V )
59 eqvincg 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  x )  e.  _V  ->  (
( G `  x
)  =  ( F `
 x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
6056, 58, 593syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  ( F `
 x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
6154, 60sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) ) )
6261adantlr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  ->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
6319, 62mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
648, 11, 63eqfnfvd 5487 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  =  F )
6564eqcomd 2121 . . 3  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  =  G )
6665ex 114 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  F  =  G ) )
675, 66impbid 128 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   <.cop 3498   class class class wbr 3897    _I cid 4178   `'ccnv 4506   dom cdm 4507    |` cres 4509    o. ccom 4511   Fun wfun 5085    Fn wfn 5086   -1-1->wf1 5088   ` cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099
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