Theorem eqfnfvd 5529

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	|- ( ph -> F Fn A )
eqfnfvd.2	|- ( ph -> G Fn A )
eqfnfvd.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, G   ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
2	1	ralrimiva 2508	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )
3		eqfnfvd.1	. . 3 |- ( ph -> F Fn A )
4		eqfnfvd.2	. . 3 |- ( ph -> G Fn A )
5		eqfnfv 5526	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( F = G <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( F = G <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
7	2, 6	mpbird 166	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   Fn wfn 5126   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  5699  f1eqcocnv  5700  offeq  6003  tfrlem1  6213  frecrdg  6313  updjudhcoinlf  6973  updjudhcoinrg  6974  seq3val  10262  seqvalcd  10263  seq3feq2  10274  seq3feq  10276  seqfeq3  10316  seq3shft  10642  efcvgfsum  11410  upxp  12480  uptx  12482  dvidlemap  12868  dvrecap  12885  peano4nninf  13375  nninfalllemn  13377  nninfsellemeqinf  13387  nninffeq  13391  refeq  13398