Theorem eqfnfvd 5756

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	|- ( ph -> F Fn A )
eqfnfvd.2	|- ( ph -> G Fn A )
eqfnfvd.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	|- ( ph -> F = G )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, G   ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
2	1	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )
3		eqfnfvd.1	. . 3 |- ( ph -> F Fn A )
4		eqfnfvd.2	. . 3 |- ( ph -> G Fn A )
5		eqfnfv 5753	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( F = G <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F = G <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
7	2, 6	mpbird 167	1 |- ( ph -> F = G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   Fn wfn 5328   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  5941  f1eqcocnv  5942  offeq  6258  tfrlem1  6517  frecrdg  6617  updjudhcoinlf  7339  updjudhcoinrg  7340  nnnninfeq  7387  seq3val  10785  seqvalcd  10786  seq3feq2  10801  seq3feq  10805  seqfeq3  10854  ccatlid  11249  ccatrid  11250  ccatass  11251  ccatswrd  11317  swrdccat2  11318  pfxid  11333  ccatpfx  11348  pfxccat1  11349  swrdswrd  11352  cats1un  11368  swrdccatin1  11372  swrdccatin2  11376  pfxccatin12  11380  seq3shft  11478  efcvgfsum  12308  nninfctlemfo  12691  xpsfeq  13508  upxp  15083  uptx  15085  dvidlemap  15502  dvidrelem  15503  dvidsslem  15504  dvrecap  15524  depindlem3  16449  peano4nninf  16732  nninfsellemeqinf  16742  nninffeq  16746  refeq  16756